离散时间滤波器的设计

滤波器的设计与实现包括以下几个步骤：(1)根据需要制定滤波器的技术指标即频率响应，包括幅度和相位两方面的要求；(2)用因果稳定的离散时间系统逼近这些技术指标。对于FIR滤波器就是找到一个频率响应满足指标要求的因果有限长的单位脉冲响应；而对IIR滤波器则是找到一个频率响应满足指标要求的因果稳定的有理系统函数；(3)为实现该滤波器选择一有限精度的软件算法或硬件结构；(4)验证在选定的实现算法和精度情况下频响特性是否符合指标要求，如果产生了偏差则对步骤（3）的结果进行修正；(5)实现该滤波器。8.1技术指标相位（是否线性）数字频率横坐标模拟频率指标（频域）幅度（容限图）绝对增益（绝对指标）纵坐标对数增益(相对指标）等效的模拟系统1/2cc通带容差阻带容差通带截止频率阻带截止频率3dB/半功率截止频率幅度响应容限图若给出的是等效模拟系统的幅度响应,即横坐标是,给出的截止频率是,则需转换得到数字的截止频率:ppssTTps和对数增益:101020*log(1)0,||20*log0|称为通带最大衰减，|称为阻带最小衰减pppsss10|()|1/220log|()|3ccjjHeHedB3dB截止频率对应的对数增益:在工程实际中，相对指标最受欢迎。8.2由连续时间滤波器设计IIR滤波器首先设计一个连续时间滤波器（称为原型连续时间滤波器），得到系统函数Hc(s)；再将系统函数Hc(s)转换成离散时间滤波器的系统函数H(z)。Hc(s)到H(z)的转换过程实际上是s平面到z平面的映射过程，该映射需要满足两个要求：一是要求所得到的离散时间滤波器的频率响应保持连续时间滤波器频率响应的基本特征，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆，且离散时间滤波器与连续时间滤波器的频率响应的类型保持不变；二是要求将一个因果稳定的连续时间滤波器转换成一个因果稳定的离散时间滤波器，即将在s左半平面的极点全部转换成在z平面单位圆内的极点。()cHs)(zH虚轴映射到单位圆左半平面的极点映射到单位圆内S平面映射到Z平面(b)(c)(d)8.2.0连续时间滤波器设计简介区别：（1）波动不同（2）相同阶数，性能增加（3）设计复杂度增3种常用的连续时间滤波器的幅度响应：121010101log101ppssN221|()|1(/)cNcHj1210101ppcN1210101sscN21122,01kjNkcsekN11001()1()NNccNkkkkHsssss巴特沃斯滤模拟低通波器的设计公式：幅度平方函数：计算阶数和3分贝截止频率：OR计算极点:写出系统函数：向上取整全极点型[N,Wc]=buttord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,'s')[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([1000,2000,-16,0])gridon设计模拟低通滤波器:21000/,22000/,1,15pspsradsradsdBdB举例输出:N=4Wc=8.1932e+003Bs=1.0e+015*00004.5063As=1.0e+015*0.00000.00000.00000.00144.5063123401234123401234()cbbsbsbsbsHsaasasasas幅度响应设计模拟低通chebyI型滤波器:[N,Wc]=cheb1ord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=cheby1(N,1,Wc,'s')[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0,4000,-30,0])gridon21000/,22000/,1,15pspsradsradsdBdB举例设计模拟低通chebyII型滤波器:[N,Wc]=cheb2ord(2000*pi,4000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=cheby2(N,15,Wc,'s')[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0,4000,-30,0])gridon21000/,22000/,1,15pspsradsradsdBdB举例设计模拟高通滤波器:[N,Wc]=buttord(4000*pi,2000*pi,1,15,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,'high','s')[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0,4000,-16,0])gridon22000/,21000/,1,15pspsradsradsdBdB举例带通带阻滤波器的通带和阻带截止频率分别是2维,带阻用参数’stop’8.2.1脉冲响应不变法1.设计思想：[][]|[]ddctnTdcdhnThtThnT使离散时间滤波器的单位脉冲响应为原型连续时间滤波器的单位脉冲响应的取样:就可以根据原型连续时间滤波器的系统函数确定离散时间滤波器的系统函数:[]()()()[]()dcdhnThnTccHshthnHz先将连续时间滤波器的系统函数分解成部分分式：10()NkckkAHsss2.系统函数转换方法11111111001()()1dsTkdkdkdsTkdkcTssezNNkdkTsTkkkssezHzHsATAssez再写出离散时间滤波器的系统函数:证明见课堂笔记()Re{}00,||1如果连续时间滤波器因果稳定，即，即则，即离散时间系统也因果稳定kdkkdkdkdkdsTjTTjTkkkkTkszeeeesze11111110011()()1ddkdsTsTkdkdkkNNkdkcTTsTkkkssssezezATAHzHsssez3.因果稳定性极点的映射关系:4．频率响应的映射特点如果连续时间滤波器是带限的，即则()0/cdHjT()()jcdHeHjT混迭小的情况下，近似认为频响是线性关系。/()(2/)djcdTrHeHjjrT离散时间滤波器与原型连续时间滤波器的频率响应的自变量之间的映射关系是：,,dT-3π/Tdπ/Td3π/TdjΩ-π/Tds平面z平面虚轴映射到单位圆是一对多，频率轴每绕一圈频响累加一次，所以频响有混迭。(1)离散时间滤波器的指标原型连续时间滤波器的指标/,/ppdssdTT()cHs(2)设计(3)11111110011()()1ddkdsTsTkdkdkkNNkdkcTTsTkkkssssezezATAHzHsssez注意：如果给出的等效模拟指标，则必须首先按照比例T线性转换成数字指标。5.设计步骤,ppeffsseffTT6.关于Td若从离散时间指标开始，则Td的取值大小不影响混迭程度和离散时间系统。所以可以任意取值。为了简单起见，常令1dT优点:频率的线性映射;缺点：频率响应有混迭，应用只限于带限滤波器的设计，应用于高通或带阻滤波器设计时会产生严重的频响混叠。7.特点wp=0.2*pi;ws=0.4*piap=1;as=12Td=1;Wp=wp/Td;Ws=ws/Td[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,ap,as,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,'s')[Bz,Az]=impinvar(Bs,As,1/Td)[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/pi,20*(log10(abs(H))),'r*')holdon[H,w]=freqz(Bz,Az);plot(w/pi,20*(log10(abs(H))))axis([0.2,0.4,-20,0])grid:0.2,0.4,1,12,设计型离散时间低通滤波器pspsBWdBdB举例输出：Bs=0000.5150As=1.00001.60311.28490.5150Bz=00.14530.08550Az=1.0000-1.47820.9106-0.2013123401234123401234()bbzbzbzbzHzaazazazaz(1)1,0.2/,0.4/psdpsddTradsradsTT121010101(2)log2.92083101ppssN12100.7870101ppcN21122,0,1,2kjNkcsek0.39350.68160,20.78701jkk11001()1()NNccNkkkkHsssss320.78700.39340.22710.78650.39340.2271(0.78700.6194)(0.7870)(0.39350.6816)(0.7870)(0.39350.6861)jjssssjssj手算：1111(3)()()sTkkcssezHzHs0.39350.686110.787010.39350.681610.39340.22710.78650.39340.2271111jjjjezezez[N,Wc]=buttord(0.6*pi,0.5*pi,1,12,'s')[Bs,As]=butter(N,Wc,'high','s')[Bz,Az]=impinvar(Bs,As,1)[H,W]=freqs(Bs,As);plot(W/pi,20*(log10(abs(H))),'r')figure[H,w]=freqz(Bz,Az);plot(w/pi,20*(log10(abs(H)))):0.6,0.5,1,12,设计型离散时间高通滤波器pspsBWdBdB举例思考本例的问题出在哪里。8.2.2双线性变换法1.设计思想σjΩΩ=（-∞，∞）S平面-π/Td+π/Tdσ1jΩ1Ω1=（-π/Td，π/Td）S1平面Im(z)Re(z)ω=（-π，π）z平面s平面的整个虚轴非线性地一对一地映射到z平面的单位圆上。2.系统函数转换方法1121()1dzsTz1121()()1cdzHzHTz如果0,则|z|1，即s左半平面的所有点都映射到z平面的单位圆内，包括极点，所以如果原型连续时间滤波器因果稳定则离散时间滤波器也一定因果稳定。1121()1将代入得到dzsjsTz1/2/21/2/2ddddTjTzTjT3.因果稳定性|z|=1.即虚轴映射到单位圆上(一对一映射).将带入上式得到ize2arctan2dT2tan2dT如果则1/21/2ddjTzjT04.频率响应的映射特点/2/2/2/22122tan(/2)1jjjjjjdddeeejjTeTeeT2arctan2dT2tan2()()djcTHeHj