无界函数的广义积分

第2节无界函数的广义积分定义2设函数)(xf在区间],(ba上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的广义积分，记作badxxf)(.badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.一、无界函数广义积分的概念类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的广义积分，记作badxxf)(badxxf)(lim0.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim0否则，就称广义积分badxxf)(发散.定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.设函数)(xf在区间(,)ab上连续，而在点,ab的邻域内无界.acb,如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则称广义积分()bafxdx收敛，并定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(否则，就称广义积分badxxf)(发散.例1计算广义积分解).0(022axadxa,1lim220xaaxax为被积函数的无穷间断点.axadx022axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2例2计算广义积分解.ln21xxdx21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210)ln(lnlimx))1ln(ln()2ln(lnlim0.故原广义积分发散.例3证明广义积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.证,1)1(q101dxx10lnx,,1)2(q101dxxq1011qxq1,111,qqq因此当1q时广义积分收敛，其值为q11；当1q时广义积分发散.101dxxq例4计算广义积分解.)1(3032xdx1x瑕点3032)1(xdx103132)1()(xdx1032)1(xdx10032)1(limxdx33132)1(xdx31032)1(limxdx,2333032)1(xdx).21(33思考题积分的瑕点是哪几点？101lndxxx思考题解答积分可能的瑕点是101lndxxx1,0xx1lnlim1xxx,11lim1xx1x不是瑕点,101lndxxx的瑕点是.0x柯西收敛准质定理(柯西准则)瑕积分badxxf)(（瑕点为a）收敛的充要条件是：任给0，存在0，只要),(,21aauu，总有2112)()()(uububudxxfdxxfdxxf二、瑕积分的性质性质1设函数1f与2f的瑕点同为ax，,为任意常数，若badxxf)(1与badxxf)(2都收敛，则badxxfxf)]()([21也收敛，且bababadxxfdxxfdxxfxf)()()]()([2121性质2设函数f的瑕点为ax，),(bac为任一常数，则badxxf)(与()cafxdx同收敛同发散，且有bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质3设函数f瑕点为ax，在任何有限区间],[bu上可积，则当badxxf|)(|收敛，则badxxf)(也收敛，且babadxxfdxxf|)(||)(|设函数(),()fxgx在(,]ab上连续非负，且都a为瑕点，若0()()fxgx在(,]ab上成立，则ⅰ．当()bagxdx收敛时，()bafxdx也收敛；ⅱ．当()bafxdx发散时，()bagxdx也发散．比较判别法的不等式形式:三、瑕积分的判别法设函数(),()fxgx在(,]ab上连续非负，且以a为瑕点，若极限()lim()xafxlgx存在，则ⅰ．当0l时，()bafxdx与()bagxdx具有相同的敛散性；比较判别法的极限形式:ⅱ．0l时，若()bagxdx收敛，则()bafxdx收敛；ⅲ．l时，若()bagxdx发散，则()bafxdx发散．柯西判别法的不等式形式:发散。那么如果绝对收敛。那么的奇点，如果为设bapbapdxxfpcaxcxfdxxfpcaxcxfxfax|)(|,1,0,)(|)(|)(,1,0,)(|)(|)(柯西判别法的极限形式:发散。那么内的符号不改变，在区间且如果绝对收敛。那么如果设babapaxdxxfbaxfpkdxxfpkkxfax)(],()(,1,0)(,1,0,|)(|)(lim例6.ln31的收敛性判别广义积分xdx解的左邻域内无界．被积函数在点1x由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101,01根据柯西极限判别法,所给广义积分发散.例7.1sin31的收敛性判别广义积分dxxx解也收敛．从而dxxx101sin收敛，而０1,11sinxdxxxx收敛，dxxx101sin根据比较判别原理,例：讨论下列瑕积分的收敛性：2110ln)2(ln1dxxxdxxx；）（解:(1)xxxxxln]1,0(,0ln，所以考虑由于的瑕点是所以再因为xxxxxxln0,)ln(lim00)4(limlnlim)ln(lim410410430xxxxxxxxx由于,ln,04310是收敛的所以，此时dxxxp,lnln1010是同敛散的与而dxxxdxxx是收敛的。所以dxxx10ln(2)，]2,1(,0lnxxx的瑕点是所以因为xxxxxxln1,lnlim11ln1limln)1(lim11xxxxxxx由于是发散的。所以，此时dxxxp21ln,11设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，而在点c的邻域内无界.如果下式极限收敛，0lim{()()}cbacfxdxfxdx称此极限为广义积分的柯西主值,记为1.瑕积分的柯西主值0..()lim{()()}bcbaacPVfxdxfxdxfxdx四.柯西主值设函数)(xf在区间),(上连续,如果极限lim()AAAfxdx存在，则称此极限为广义积分的柯西主值，记作..()lim()AAAPVfxdxfxdx.2.无穷积分的柯西主值注:若广义积分收敛,则它的柯西主值存在,但反之不一定成立.五.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理（狄利克雷判别法）设积分baf(x)dx仅以a为瑕点ⅰ若()()bauFufxdx在(,]ab上有界，ⅱ)(xg在(,]ab上单调ⅲ)(xg当xa时趋于0，则()()bafxgxdx收敛。定理设积分baf(x)dx仅以a为瑕点ⅰ若()bafxdx收敛，ⅱ)(xg在(,]ab上单调，ⅲ)(xg在(,]ab上有界，则()()bafxgxdx收敛。阿贝尔判别法例１讨论积分101sin,(20)rxdxrx的敛散性．解ⅰ．当0r1时，因为sin1/1||,rrxxx，所以，积分绝对收敛，ⅱ．当r2时，因为12111|sin||cos1cos|2dxxx，又1122001sin11sin,rrxdxxdxxxx2rx单调，且20,(0)rxx，由狄里克莱判别法，积分收敛．ⅲ．当r=2时，因为12111sincoscos1dxxx，当0时，无极限，所以积分1201sinxdxx发散．例2考察广义积分的敛散性221.321dxxxx解,1231lim)(lim211xxxxfxx.)(1的瑕点为xfx2120123limxxxdx原式])11(2)11([lim21220xxd210211arcsinlimx.43arcsin2六、两类反常积分的转换法与分部积分法，对于广义积分也有换元dtttftxdxxfaa201111)(.11)()(11210012）（tfttgdttgdttftaa可。的反常积分，反过来也这就转化成了无界函数小结一.瑕积分的定义与性质二.暇积分收敛的判别法１.柯西准则２.比较原则３.柯西判别法４.狄利克雷判别法５.阿贝尔判别法