高中数学第二课时古典概型的综合问题课件新人教A版

第二课时古典概型的综合问题1．基本事件有哪些特征？2．如何判断一个试验是否是古典概型？3．古典概型的概率公式是什么？有序和无序型问题[例1]从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[解](1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝a1，b，a2，b，b，a1，b，a2.因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝49.[类题通法]解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．[活学活用]一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316，故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.数字型问题[例2]某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率．[解]电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总数为n＝108.(1)记“头两位数字都是8”为事件A，则若事件A发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝106.所以由古典概型概率公式，得P(A)＝m1n＝106108＝1100＝0.01.(2)记“头两位数字都不超过8”为事件B，则事件B的头两位数码都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故事件B所包含的基本事件数为m2＝81×106.所以由古典概型概率公式，得P(B)＝m2n＝81×106108＝0.81.[类题通法]解决数字型问题(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．[活学活用]储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个．由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P＝1106.(2)按六位号码的后两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝1100.概率与统计的综合问题[例3]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．[解](1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝315＝15.[类题通法]使用古典概型的概率公式的两个关键点(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏)(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母)[活学活用](重庆高考)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．解：(1)由直方图知组距为10，由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60,70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，故所求概率为P＝310.2.古典概型与其他知识的交汇问题[典例]设集合A＝1，2，B＝1，2，3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值．[解题指导]点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P(a，b)落在直线x＋y＝n(2≤n≤5)上，则：当n＝2时，点P只能是(1,1)；当n＝3时，点P可能是(1,2)，(2,1)；当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)；当n＝5时，点P只能是(2,3)．故事件C3，C4的概率最大，所以n可取3或4.[多维探究]古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题．另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题．[角度一]古典概型与方程相结合问题设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b.基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.[角度二]古典概型与函数相结合问题袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x的球重(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？解：设质量相等的两球的号码分别是m，n，m≠n，则有m2－5m＋30＝n2－5n＋30，解得m＋n＝5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是1，4或2，3，所以P＝210＝15.[角度三]古典概型与新定义相结合问题“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是多少？解：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是1736.[随堂即时演练]1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.16B．536C.112D．12解析：由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6共3种情况，所以P＝336＝112.答案：C2．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈1，2，3，4，5，6，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.736B．14C.1136D．512解析：由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)11个．∴概率P＝1136.答案：C3．(广东高考)从字母a，b，c，d，e中任取