2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷(真题+答案)

1正视图侧视图俯视图2012年湖南省普通高中学业水平考试试卷（真题）数学时量120分钟，满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、已知等差数列na的前3项分别为2、4、6,则数列na的第4项为：A、7B、8C、10D、122、如图是一个几何体的三视图,则该几何体为A、球B、圆柱C、圆台D、圆锥函数12fxxx的零点个数A、0B、1C、2D、34、已知集合1,0,2,,3,ABx若2AB,则x的值为A、3B、2C、0D、15、已知直线12:21.:25,lyxlyx则直线12,ll的位置关系是A、重合B、垂直C、相交但不垂直D、平行6、下列坐标对应的点中,落在不等式10xy表示的平面区域内的是A、(0，0)B、（2,4）C、(-1，4)D、（1，8）7、某班有50名同学,将其编为1、2、3、…、50号,并按编号从小到大平均分成5组,现用系统抽样方法,从该班抽取5名同学进行某项调查,若第1组抽取的学生编号为3,第2组抽取的学生编号为13,则第4组抽取的学生编号为A、14B、23C、33D、438、如图,D为等腰三角形ABC底边AB的中点,则下列等式恒成立的是A、0CACBB、0CDABC、0CACDD、0CDCB9、将函数sinyx的图象向左平移3个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为A、sin3yxB、sin3yxC、2sin3yxD、2sin3yx10、如图,长方形的面积为2,将100颗豆子随机地撒在长方形内,其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内,则用随机摸拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A、23B、45C、65D、43（第10题图）ABCD（第8题图）（第2题图）2ACB（第15题图）河10545二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分11、比较大小:2log5_________2log3(填“”或“”)12、已知圆224xay的圆心坐标为3,0,则实数a=_________13、某程序框图如图所示,若输入的,,abc的值分别是3,4,5,则输出的y值为_________14、已知角的终边与单位圆的交点坐标为(23,21),则cos=________15、如图,A,B两点在河的两岸,为了测量A、B之间的距离,测量者在A的同侧选定一点C,测出A、C之间的距离是100米,105BAC,45ACB,则A、B两点之间的距离为_________米三、解答题:本大题共5小题,满分40分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、16、(本小题满分6分)已知函数2,6yfxx的图象如图、根据图象写出:⑴函数yfx的最大值;⑵使1fx的x值、输入fx开始结束输入,,abc输出y3abcy（第13题图）21O256xy21（第16题图）317、(本小题满分8分)一批食品,每袋的标准重量是50g,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g),并得到其茎叶图(如图)、⑴求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数;⑵若某袋食品的实际重量小于或等于47g,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率18、(本小题满分8分)如图,在四棱柱1111ABCDABCD中,1DDABCD底面,底面ABCD是正方形,且112ABDD，、⑴求直线1DB与平面ABCD所成角的大小;⑵求证:AC平面11BBDD、ABCD1A1B1D1C(第18题图)456695000112(第17题图)419、(本小题满分8分)已知向量sin,1,cos,1,.axbxxR⑴当4x时,求向量ab的坐标;⑵若函数2fxabm为奇函数,求实数m的值、20、(本小题满分10分)已知数列na的前n项和为2nnSaanN为常数，、⑴求123,,;aaa⑵若数列na为等比数列,求常数a的值及na;⑶对于⑵中的,na记21143,nnfnaa若0fn对任意的正整数n恒成立,求实数的取值范围、5参考答案共10×4＝40分12345678910BDCBDACBAC11、＞12、313、414、2115、210016、解：(1)由图像可知：函数)(xf的最大值为2………3’(2)由图像可知，使)(xf=1的x值为-1或5………6’17、解：（1）这10袋食品重量的众数为50(g)……2’因为这10袋食品重量的平均数为1052515150505049464645＝49(g),所以，可以估计这批食品实际重量的平均数为49(g),……4’（2）因为这10袋食品中实际重量少于47(g)的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为103，故可以估计这批食品重量的合格率为107.…………8’18、解：（1）因为D1D⊥面ABCD，所以BD为直线BD1在平面ABCD内的射影.所以，∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角.…………2’又因为AB=1，所以BD=2；在Rt△D1DB中，tan∠D1BD=BDDD1=1，所以，an∠D1BD=所以直线D1D与平面ABCD所成的角为4π。…………4’（2）证明：因为D1D⊥面ABCD，AC在平面ABCD内，所以D1D⊥AC.又底面ABCD为正方形，所以ACBD…………6’因为BD与D1D是平面ABCD内的两条相交直线，所以AC⊥平面BB1D1D…………8’19、解（1）因为a=(sinx,1)，b=(cosx,1)，x=4π，所以，a+b=(sinx+cosx,2)=(2,2)…………4’(2)因为a+b=(sinx+cosx,2)6所以)(xf=(sinx+cosx)2+4+m=sin2x+5+m…………6’因为)(xf是奇函数，所以)()(xfxf，即sin(-2x)+5+m=-sin2x-5-m，解得m=-5…………8’(注：由)(xf是奇函数，得0)0(f，解得m=-5，同样给分20、解（1）a1=s1=a+2…………1’由s2=a1+a2，得a2=2…………2’由s3=a1+a2+a3，得a3=4…………3’(2)因为，a1=a+2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1,又｛an｝为等比数列，所以a1=1，即a+2=1，得a=-1…………5’故an=2n-1(3)因为an=2n-1，所以)(nf=λ·22n-4λ·2n-3…………7’令t=2n，则t≥2,)(nf=λ·t2-4λ·t-3=λ(t-2)2-4λ-3设g(t)=λ(t-2)2-4λ-3当λ=0时，有)(nf=-3＜0，恒成立…………8’当λ＞0时，g(t)=λ(t-2)2-4λ-3对应的点，在开口向上的抛物线上，所以)(nf＜0不可能恒成立…………9’当λ＜0时，g(t)=λ(t-2)2-4λ-3在t≥2时，有最大值-4λ-3，所以要使)(nf＜0对任意的正整数n恒成立，只需-4λ-3＜0，即＞-43此时，-43＜λ≤0.综上所述，实数λ的取值范围是-43＜λ≤0…………10’（说明：解答题，如有其它解法，酌情给分）