2019年高考真题全国卷III理科数学试卷-答案

2019年⾼考真题全国卷III理科数学试卷(答案)⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）1.【解析】A∵，．∴．故选．2.【解析】D．故选．3.【解析】C阅读过《⻄游记》或《红楼梦》的学⽣共有位，阅读过《红楼梦》的学⽣共有位，阅读过《⻄游记》且阅读过《红楼梦》的学⽣共有位，作出维恩图，得：⻄游记红楼梦该学校阅读过《⻄游记》的学⽣⼈数为⼈，则该学校阅读过《⻄游记》的学⽣⼈数与该学校学⽣总数⽐值的估计值为：．故选：．4.【解析】A的展开式中的系数为：．故选：．5.【解析】C各项均为正数的等⽐数列的前项和为．设公⽐为即①，且，即，∴，（舍）或，∵，∴，将代⼊①得，∴．故选．6.【解析】D曲线在点处切线⽅程为，∴，，∴，解得，．故选．7.【解析】B为奇函数，故错，当时，，，故选．8.【解析】B如图所示，作于，连接，过作于，连接．平⾯平⾯，平⾯，平⾯，平⾯，与均为直⻆三⻆形．设正⽅形边⻓为，易知，，，．，故选．9.【解析】C第⼀次执⾏循环体后，，，不满⾜退出循环的条件；再次执⾏循环体后，，，不满⾜退出循环的条件；再次执⾏循环体后，，，不满⾜退出循环的条件；由于，⽽，可得：当，，此时，满⾜退出循环的条件，输出．故选：．10.⽅法⼀：⽅法⼆：【解析】A由．，，⼜在的⼀条渐近线上，不妨设为在上，，故选．双曲线的右焦点为，渐近线⽅程为：，不妨在第⼀象限，可得，，所以的⾯积为：．故选．11.【解析】C是定义域为的偶函数，，，在上单调递减，，故选：．12.【解析】D，在有且仅有个零点．，，，④正确．如图为极⼤值点为个，①正确；极⼩值点为个或个．②不正确．当时，，当时，．③正确，故选．⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.【解析】为单位向量．且∴∴∴．14.【解析】为等差数列的前项和，且，，设公差为，则，∴，，，∴．故答案为：．15.⽅法⼀：⽅法⼆：【解析】由已知可得，，，．∴．设点的坐标为，则，⼜,，解得，，解得（舍去），的坐标为．xyO设，，，椭圆的，，，，由于为上⼀点且在第⼀象限，可得，为等腰三⻆形，可能或，即有，即，；，即，舍去．可得．故答案为：．16.【解析】该模型为⻓⽅体，挖去四棱锥后所得的⼏何体，其中为⻓⽅体的中⼼，，，，，分别为所在棱的中点，，，该模型体积为：，打印所⽤原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：．故答案为：．三、解答题（本⼤题共5题，每⼩题12分，共计60分）17.（1）（2）（1）（2）【解析】，．；．由已知得，故，．甲离⼦残留百分⽐的平均值的估计值为；⼄离⼦残留百分⽐的平均值的估计值为．18.（1）（2）（1）（2）【解析】．⾯积的取值范围是．由题设及正弦定理得，因为，所以．由，可得，故，因为，故，因此．由题设及（）知的⾯积，由正弦定理得，由于为锐⻆三⻆形，故，，由（）知，所以，故，从⽽．因此，⾯积的取值范围是．19.（1）（2）（1）【解析】证明⻅解析．．由已知得，，所以，故，确定⼀个平⾯，从⽽，，，四点共⾯．由已知得，，故平⾯．（2）⼜因为平⾯，所以平⾯平⾯．作，垂⾜为．因为平⾯，平⾯平⾯，所以平⾯．由已知，菱形的边⻓为，，可求得，．以为坐标原点，的⽅向为轴的正⽅向，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，，，，．设平⾯的法向量为，则，即．所以可取．⼜平⾯的法向量可取为，所以．因此⼆⾯⻆的⼤⼩为．20.（1）（2）若，在，单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，在，单调递增，在单调递减．存在；，或，．（1）（2）【解析】．令，得或．若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．满⾜题设条件的，存在．（ⅰ）当时，由（）知，在单调递增，所以在区间的最⼩值为，最⼤值为．此时，满⾜题设条件当且仅当，，即，．（ⅱ）当时，由（）知，在单调递减，所以在区间的最⼤值为，最⼩值为．此时，满⾜题设条件当且仅当，，即，．（ⅲ）当时，由（）知，在的最⼩值为，最⼤值为或．若，，则，与⽭盾．若，，则或或，与⽭盾．综上，当且仅当，或，时，在的最⼩值为，最⼤值为．21.（1）（2）（1）（2）【解析】证明⻅解析．四边形的⾯积为或．设，，则．由于，所以切线的斜率为，故，整理得，设，同理可得，故直线的⽅程为，所以直线过定点．由（）得直线的⽅程为，由可得．于是，，，．设，分别为点，到直线的距离，则，．因此，四边形的⾯积，设为线段的中点，则，由于，⽽，与向量平⾏，所以，解得或．当时，﹔当时，．因此，四边形的⾯积为或．四、选做题（本⼤题共2题，每⼩题10分，选做1题）22.（1）（2）（1）（2）【解析】的极坐标⽅程为，的极坐标⽅程，的极坐标⽅程为．或或或．由题设可得，弧，，所在圆的极坐标⽅程分别为，，，所以的极坐标⽅程为，的极坐标⽅程，的极坐标⽅程为．设，由题设及（）知若，则，解得；若，则，解得或；若，则，解得，综上，的极坐标为或或或．23.（1）（2）（1）（2）【解析】．证明⻅解析．由于，故由已知得，当且仅当，，时等号成⽴，所以的最⼩值为．由于，故由已知得，当且仅当，，时等号成⽴，因此的最⼩值为，由题设知，解得或．