选修2-3：第二章-随机变量及其分布-单元测试题

选修2-3第二章随机变量及其分布列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：ξ12345678910P23232233234235236237238239m则P(ξ＝10)等于()A.239B.2310C.139D.13102．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是()A．0.1462B．0.1538C．0.9962D．0.85383．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：ξ135P0.5m0.2则其数学期望E(ξ)等于()A．1B．0.6C．2＋3mD．2.44．已知随机变量X服从二项分布X～B(6，13)，则P(X＝2)等于()A.1316B.4243C.13243D.802435．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是()A.38B.12C.58D.786．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是23，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是()A.40243B.80243C.110243D.202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为()A．2.5B．3C．3.5D．48.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为()A.516B.532C.16D．以上都不对9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ102030P0.6a14－a2则D(3ξ－3)等于()A．42B．135C．402D．40510．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ1)＝p，则P(－1ξ0)等于()A.12pB．1－pC．1－2pD.12－p11．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.164B.5564C.18D.11612．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()A.A1B．A2C．A3D．A4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6ξ≤14)＝________.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X)；(2)求乙至多击中目标2次的概率；(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．第二章随机变量及其分布列1.答案C解析P(ξ＝10)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)－…－P(ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139.2.答案A解析所求的概率为1－C237C240＝1－37×3640×39＝0.1462.3.答案D解析∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.4.答案D解析P(X＝2)＝C26·(23)4·(13)2＝80243.5.答案D解析P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6.答案B解析所求概率为C35(23)3×(1－23)2＝80243.7.答案C解析P(ξ＝k)＝16(k＝1,2,3，…，6)，∴E(ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×[6×1＋62]＝3.5.8.答案A解析由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C25条路线，故所求的概率为C2525＝516.9.答案D10.答案D解析由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由标准正态分布图像可得P(－1ξ1)＝1－2P(ξ1)＝1－2p.故P(－1ξ0)＝12P(－1ξ1)＝12－p.11.答案B解析设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)·P(R)·P(C)·P(D)＝5564.12.答案C13.答案25，45解析由题意P(ξ＝k)＝110(k＝5,6，…，14)，P(ξ≥10)＝4×110＝55.P(6ξ≤14)＝8×110＝45.14.答案0.8解析P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8.15.答案3,1解析∵ξ～N(μ，σ)，∴E(ξ)＝μ＝3，D(ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1.16.答案0.128解析此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.解析ξ的取值分别为3,4,5，P(ξ＝5)＝C22C35＝110，P(ξ＝4)＝C23C35＝310，P(ξ＝3)＝C24C35＝35，所以ξ的分布列为ξ345P3531011018.解析(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝C34C36＝15，P(ξ＝1)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝2)＝C14C22C36＝15.∴ξ的分布列为ξ012P153515(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝C34C36＝420＝15.∴所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－15＝45.(3)P(B)＝C25C36＝1020＝12；P(B|A)＝C14C25＝410＝25.19.解析(1)X的概率分布列为X0123P18383818E(X)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或E(X)＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C33(23)3＝1927.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件，P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝38×127＋18×29＝124.20.解析(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X为离散型随机变量，且X服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，当X＝0时，P(X＝0)＝C06C34C310＝130，当X＝1时，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，当X＝2时，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，当X＝3时，P(X＝3)＝C36C04C310＝16，则可得X的分布列为X0123P1303101216(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.21.解析(1)由图可知：P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3.所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.因为P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65，P(X乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为P＝P(X甲≥9)·P(X乙≥9)＝0.65×0.55＝0.3575.(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高．22.解析设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.