等比数列求和教案

1课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于1q这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标2●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。2.教学重点、难点●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。五、教学过程教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图一、课前成果展示一、课前学生展示：（1）庄子语录：一尺之捶，日取其半，万世不竭问8天去多少？（2）微商：1人发朋友圈，3人转发，3人之后又学生分组派代表展示，并在辅助黑板上转换成两个求和的式子让学生带着问题进入课堂，激发学生求知欲望，而就身边的事例引入课堂激发学生兴趣。3分享9人转发，那么依次转发到n次，问有多少人转发了朋友圈。二、探究归纳10min1、问题探究【撕纸实验】课前每位同学人手准备一张报纸，第一小组不撕。其他组同学将报纸第一次对折，每组中一名同学不撕，其他组员对折撕开，第二次对折，还是每一组中一名组员不再撕了，其他组员对折撕开，重复上面循环到最后组里第五个。那么每组有多少片纸？探究：如何求和第一组：1+1+1+1+1=5其他每组有：3122221432问题延伸：如果全班30人一起做这样的实验那么我们能得到多少张纸片？共有：30293222221S【教师提问】（1）能否逐一相加得结果？（2）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？探讨1、30293222221S，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有3030293222222S，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？课堂中学生动手实验参与其中。学生积极探究，解决情境学生观察、思考解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了.动手实验的引入，引出课题的同时激发学生的兴趣，调动学生主动性．实验内容紧扣本节课的主题与重点．留出时间让学生充分地思考、讨论.用错位相减法推导等比数列前n项和公式的关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿下功夫，让学生经过思考讨论，教师引导类比倒序相加求和的本质，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法，让学生在探索过程中，充分感受到成功的乐趣，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时这也是培养学生辩证思维能力的良好契机．二、探究归纳形2、归纳这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为na，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。一般等比数列前n项和：?1321nnnaaaaaSLL即?11212111nnnqaqaqaqaaS错位相减法学生推导公式在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。突破重点，达成课堂初4成公式7minnnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111qqaqaaSqnnn1)1()1(111这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？111)1(11qnaqqqaSnn在学生推导完成之后，老师再问：由nnqaaSq11)1(得qqaaSnn111步目标三、性质探究8min1．等比数列的前n项和公式：当q=1时，当时2．公式特征：⑴等比数列求和时，应考虑与两种情况。⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，，五个量中“知三求二”（方程思想）。3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。学生分组讨论，得出成果汇总，师生再得出公式特征以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.对学生的思维发展有促进作用。认知数学的严谨性，。四、尝试应用11min再次呈现生活实例庄子语录：一尺之捶，日取其半，万世不竭问n天取共取多少？【多媒体动画演示】宰相西萨曾发明了象棋，国王十分高兴,决定重重的奖赏他。国王说；“无论你说出什么要求，我都想法满足你。”他回答说；“我想请您在有64个格子的棋盘的第1个给我1粒麦子，在第2个格子上赐给我2粒，第3个格子上赐给我4粒，第4个格子上赐给我8粒，第5格16粒....照这样,每一格是前面一格的2倍,赐给我满64格的麦子,臣就心满意足了。”那么西萨一共可以得多解决预设问题增强学习激情，解决问题更增强学习信心，同时课堂反馈。三个实例“知三求一”数学源于生活服务于生活，对事例的解决，即解答了学生课前的疑惑，促进学生的学习欲望，使得内容更加衔接紧密。情景剧是同学们课前精心准备的，并拍成了视频，视频的拍摄培养了学生的课堂参与积5少麦子呢？【播放情景剧】（2）话说八戒自西天取经回到高老庄，从高原外手里接下高老庄集团，摇身变成了CEO。可是好景不长，因资金周转不灵而陷入窘境，需要大量资金投入，于是就找送悟空帮忙。悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件作为回报，从投资的第一天起必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元…即后一天返还数是前一天的2倍。”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万;第三天：支出4元，收入100万…哇，发财了！”他越想越美。再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我。”拓展延伸：微商：1人发朋友圈，3人转发，3人之后又9人转发，那么依次转发到8次，问共有多少人发了朋友圈，第8次有多少人同时在转发？例题:若1a=—15，4a=96，求q及4S，若214,21133Sa，求1a及q学生自主完成，教师反馈。极性团队合作，同时更能直观的体现问题出处。本题的设计是初步对公式的应用。“知三求一”的解题思路。采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。拓展延伸是对问题的升华，同时是“知三求二”的解题演练。五、总结归纳加深理解3min引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结．本环节由学生自主归纳、总结，教师加以补充、强调．(多媒体演示)学生：（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的探究方法．（2）体会等比数列前n项和公式的基本元表示方法、错位相减的算法。（3）掌握等比数列剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，同时也培养学生分类讨论的数学思想．6的求和公式及简单应用．八、分层作业强化知识1min课后作业:1、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？2、观看讨论群中有几何画板绘制的等比数列公式和的图像，和函数有着怎么样的关联。自主完成作业作业进一步巩固了本节课知识，拓展了学生数学视野，而1和2设计体现了不同的人在数学上得到不同的发展的新课标教学理念.板书设计：六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．等比数列的前n项和一、公式的推导错位相减法112111nnqaqaqaaSnnqaqaqaqaqS131211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn（主板书）学生小组评分：学生板演生活实例辅助板7（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.本节课实例的讲解是数学建模的引入。