中考数学压轴题精选10道(附答案)

中考压轴题精选1.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342yx=−与抛物线214yxbxc=−++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.河南（1）对于3342yx，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-152∴A点坐标为（2，0），B点坐标为15(8,).2由抛物线214yxbxc经过A、B两点，得012,15168.2bcbc解得235135..42442bcyxx，（2）①设直线3342yx与y轴交于点M当x=0时，y=32.∴OM=32.∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=225.2OAOM∵OM：OA：AM=3∶4：5.由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.∴DE：PE：PD=3∶4：5.∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∴PD=yP-yD213533()()44242xxx=213444xx∴21213(4)542lxx231848.555xx23(3)15.315.5lxxl最大时，②满足题意的点P有三个，分别是12317317(,2),(,2),22PP3789789(,).22P【解法提示】当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即21352442xx，解得3172x，所以12317317(,2),(,2).22PP当点F落在y轴上时，同法可得3789789(,)22P，4789789(,)22P（舍去）.2.义乌3.如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线过点O、A两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．福州考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）将O、A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；（2）根据A点的坐标和直线OB的解析式可求出B点的坐标，进而可求出OA、AB、OB的长；设AC与OB的交点为E，连接OC，由于A、C关于OB对称，那么OB垂直平分线段AC，则有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的长，在Rt△BCO中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作CD⊥x轴于D，易证得△CDA∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AD、CD的长，从而得到C点的坐标；然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（2）中已经证得BC⊥OC，则OC是⊙O1的切线，由于P、C不重合，所以P点在第一象限；连接O1P，若存在符合条件的Q点，那么点Q必为直线O1P与抛物线的加点，所以解决此题的关键是求出O1、P的坐标；过O1作O1H⊥x轴于H，则O1H是梯形CDAB的中位线，易得AH=DH=AD，由此可得求出AH、DH的长，进而可求出OH的长，根据梯形中位线定理即可得到O1H的长，由此可求出点O1的坐标；过P作PF⊥x轴于F，由于OC、OP都是圆的切线，则OC=OP=O1C=O1P=5，由此可得四边形OCO1P是正方形，得∠POC=90°，根据等角的余角相等，可证得∠OCD=∠POF，由此可证得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的长，也就得出了P点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线O1P的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到Q点的横坐标．解答：解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y=x2+bx+c，得，解得；∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x；（2）点C在该抛物线上．理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E∵点B在直线y=2x上，∴B（5，10）∵点A、C关于直线y=2x对称，∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5∵SRt△OAB=AE•OB=OA•AB∴AE=2，∴AC=4；∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠OBA；又∵∠CDA=∠OAB=90°，∴△CDA∽△OAB∴==；∴CD=4，AD=8；∴C（﹣3，4）当x=﹣3时，y=×9﹣×（﹣3）=4；∴点C在抛物线y=x2﹣x上；（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切；过点P作PF⊥x轴于点F，连接O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H；∴CD∥O1H∥BA∴C（﹣3，4），B（5，10）∵O1是BC的中点，∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4，∴OH=OA﹣AH=1，同理可得O1H=7，∴点O1的坐标为（1，7）∵BC⊥OC，∴OC为⊙O1的切线；又∵OP为⊙O1的切线，∴OC=OP=O1C=O1P=5∴四边形OPO1C为正方形，∴∠POF=∠OCD又∵∠PFO=∠ODC=90°，∴△POF≌△OCD∴OF=CD，PF=OD，∴P（4，3）设直线O1P的解析式为y=kx+b（k≠0），把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，得，解得；∴直线O1P的解析式为y=x+；若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），则有n=m+，n=y=m2﹣m∴m+=m2﹣m，整理得m2+3m﹣50=0解得m=，∴点Q的横坐标为或．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、切线长定理、函数图象交点坐标的求法等；涉及知识点较多，难度很大．4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，82OAcm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．[来源:Zxxk.Com]长沙解：(1)∵CQ＝t，OP=2t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝212(8)24222tttt（0＜t＜8）…………………3分(2)∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝11882828(822)22tt＝322…………5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322…………6分（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴828822ttt解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（42，0）BAPxCQOy第26题图∵B（82，8）且抛物线214yxbxc经过B、P两点，∴抛物线是212284yxx，直线BP是：28yx…………………8分设M（m,28m）、N(m，212284mm)∵M在BP上运动∴4282m∵2112284yxx与228yx交于P、B两点且抛物线的顶点是P∴当4282m时，12yy………………………………9分∴12MNyy＝21(62)24m∴当62m时，MN有最大值是2∴设MN与BQ交于H点则(62,4)M、(62,7)H∴S△BHM＝13222＝32∴S△BHM：S五边形QOPMH＝32:(32232)＝3:29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．…………………10分5.如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n)(m0)。当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。沈阳xACDEFBOQPyBO(D)yxF(C)E(A)OyxFE图1图2备用图[解](1)由拋物线y=ax2c经过点E(0，16)、F(16，0)得：cca161602，解得a=161，c=16，∴y=161x216；(2)过点P做PGx轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，∴OG=21OF=2116=8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上，∴y=1618216=12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)，∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为4，∵Q点在拋物线上，∴4=161x216，∴x1=85，x2=85，∵m0，∴x2=85(舍去)，∴x=85，∴Q(85，4)；8516m8；不存在；理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，∵P点在拋物线上，∴7=161x216，∴x1=12，x2=12，∵m0，∴x2=12(舍去)，∴x=12，∴P点坐标为(12，7)，∵P为AB中点，∴AP=21AB=8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m=4，又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)，点C的坐标是(20，9)，∴点Q的纵坐标为9，∵Q点在拋物线上，∴9=161x216，∴x1=20，x2=20，∵m0，∴x2=20(舍去)，x=20，∴Q点坐标(20，9)，∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。6.如图，y关于x的二次函数3()(3)3yxmxmm图象的顶点为M，图象交x轴于A．B两点．交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C。定点E的坐标为(30，)，连接ED．(0m)(1)写出A、B、D三点的坐标；(2)当m为何值时，M点在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；(3)当m变化时，甩m表示△AED的面积S．并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．潍坊【答案在24题下】7.如图（Ⅰ），在平面直角坐标系中，⊙O′是以点O′（2，﹣2）为圆心，半径为2的圆，⊙O″是以点O″（0，4）为圆心，半径为2的圆．（1）将⊙O′竖直向上平移2个单位，得到⊙O1，将⊙O″水平向左平移1个单位，得到⊙O2如图（Ⅱ），分别求出⊙O1和⊙O2的圆