高等代数课件(北大版)第一章-多项式§1.5

2020/5/31数学与计算科学学院§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式2020/5/31数学与计算科学学院一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院因式分解与多项式系数所在数域有关如：422422xxx2222xxx（在有理数域上）2222xxxixi问题的引入（在实数域上）（在复数域上）§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院设，且，若()[]pxPx1px()px不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的()px定义：乘积，则称为数域P上的不可约多项式.()px说明：①一个多项式是否不可约依赖于系数域.②一次多项式总是不可约多项式.一、不可约多项式§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院③多项式不可约()(())1pxpx()px的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.()()(),()1.pxfxpxfx或④多项式不可约，对有()[]fxPx()px证：设则((),())(),pxfxdx()()dxpx或()(),0dxcpxc()()dxcpx((),())1pxfx()()pxfx()0dxa即或()1,dx§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院不可约.，若()px(),()[]fxgxPx()()(),pxfxgx则或()()pxfx()().pxgx证：若结论成立.()(),pxfx4Th若不整除，则((),())1pxfx()()pxfx定理5：()().pxgx不可约，()px12()()()(),spxfxfxfx则必有某个使得(),ifx()().ipxfx推论：§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院()(),pxPx若，则可(())1fx()fx唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，若有两个分解式1212()()()()()()()stfxpxpxpxqxqxqx1.定理：则，且适当排列因式的次序后，有st()()iiipxcqx其中是一些非零常数．(1,2,,)icis二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院证：对的次数作数学归纳.()fx1(())1fx时，结论成立．下证的情形.()fxn设对次数低于n的多项式结论成立．2（一次多项式都不可约）若是不可约多项式.()fx若不是不可约多项式，则存在()fx12(),(),fxfx且使(()),1,2ifxni12()()()fxfxfx结论显然成立．由归纳假设皆可分解成不可约多项式的积.12(),()fxfx§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院再证唯一性.12()()()tqxqxqx⑴()fx可分解为一些不可约多项式的积.(),()1,2,,;1,2,,.ijpxqxisjt都是不可约设有两个分解式()fx12()()()()sfxpxpxpx多项式.对作归纳法．s若则必有1,s1,st11()()()fxpxqx§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院假设不可约多项式个数为时唯一性已证.1s由(１)112()()()()tpxqxqxqx不妨设则1()(),jqxqx11()()pxqx1111()(),0qxcpxc1()().jpxqx使得(),jqx(1)两边消去1(),qx1212()()()()stpxpxcqxqx由归纳假设有11,st即得.st§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院()fx总可表成1212()()()()srrrsfxcpxpxpx()[],()1,fxPxfx对其中为的首项系数，为互不相同的，c()fx()ipx首项系数为1的不可约多项式，.irZ的标准分解式.称之为()fx2.标准分解式：§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院说明①若已知两个多项式的标准分解式,(),()fxgx(),().fxgx则可直接写出就是那些同时在的标准(),()fxgx(),()fxgx分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数(),()fxgx中较小的一个．§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院()(),1,2,,iifxgxrlis例如，若的标准分解式分别为(),()fxgx1212()()()(),0srrrsifxapxpxpxr1212()()()(),0slllsigxbpxpxpxl则有1212(),()()()(),ssfxgxpxpxpxmin,,1,2,,iiirlis1212(),()()()(),suuusfxgxpxpxpxmax,,1,2,,iiiurlis§1.5因式分解定理2020/5/31数学与计算科学学院②虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法．实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．