《直线与方程》单元测试卷

《直线与方程》单元测试题1．若直线x＝2015的倾斜角为α，则α()A．等于0°B．等于180°C．等于90°D．不存在2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝03．已知三角形ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，3)，若M是BC边的中点，则中线AM的长为()A．42B.13C．25D．2134．若光线从点P(－3，3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(－1，－5)，则光线从点P到点Q走过的路程为()A．10B．5＋17C．45D．2175．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝06．直线5x－4y－20＝0在x轴上的截距，在y轴上的截距和斜率分别是()A．4，5，54B．5，4，54C．4，－5，54D．4，－5，457．若直线(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0恒过某个点P，则点P的坐标为()A．(3，5)B．(－3，5)C．(－3，－5)D．(3，－5)8．如图D3­1所示，直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像应该是()图D3­19．若直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B.21313C.52613D.7201010．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是()A．(5，6)B．(2，3)C．(－5，6)D．(－2，3)11．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π6，π2C.π3，π2D.π6，π212．已知△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是()A.3B．1＋22C．1＋33D.213．过两直线x－3y＋1＝0和3x＋y－3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________．14．已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点________．15．过点(－2，－3)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是________．16．已知点A(1，－1)，点B(3，5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是________．17．已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.(1)求直线l的方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．18．求过两直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程．(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．19．已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3，3)．如果点Q(2，2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．20．已知△ABC中，A点坐标为(0，1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程为2x＋y－3＝0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．21．若光线从点Q(2，0)发出，射到直线l：x＋y＝4上的点E，经l反射到y轴上的点F，再经y轴反射又回到点Q，求直线EF的方程．22．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图D3­2所示)．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．图D3­2单元测评(三)1．C2．A[解析]设直线的方程为x－2y＋b＝0，将点(1，0)代入得b＝－1，所以直线方程为x－2y－1＝0.3．C[解析]设点M的坐标为(x0，y0)，由中点坐标公式得x0＝－2＋42＝1，y0＝－1＋32＝1，即点M的坐标为(1，1)，故|AM|＝（1＋1）2＋（1－5）2＝25.4．C[解析]Q(－1，－5)关于y轴的对称点为Q1(1，－5)，易知光线从点P到点Q走过的路程为|PQ1|＝42＋82＝45.5．B[解析]本题可采用排除法，显然不能选择A，C.又因为直线3x－4y＋11＝0到直线3x－4y－1＝0的距离为125，故不能选择D，所以答案为B.6．C[解析]直线5x－4y－20＝0可化为x4－y5＝1或y＝54x－5，易得直线在x轴，y轴上的截距分别为4，－5，斜率为54.7．C[解析]方程(2m－3)x－(m－2)y＋m＋1＝0可整理为m(2x－y＋1)－(3x－2y－1)＝0，联立2x－y＋1＝0，3x－2y－1＝0，得x＝－3，y＝－5.故P(－3，－5)．8．B[解析]∵ab≠0，∴可把l1和l2的方程都化成斜截式，得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，∴l1的斜率等于l2在y轴上的截距．∵C中l1的斜率小于0，l2在y轴上的截距大于0；D中l1的斜率大于0，l2在y轴上的截距小于0，∴可排除C，D两选项．又∵l1在y轴上的截距等于l2的斜率的相反数，∴可排除A.9．D[解析]因为直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，所以m＝2，所以它们之间的距离为d＝－3－1232＋12＝72010.10．C[解析]设Q点坐标为(m，n)，则n＋4m－7×65＝－1，6×m＋72－5×n－42－1＝0，解得m＝－5，n＝6，所以点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是(－5，6)．11．B[解析]如图所示，直线2x＋3y－6＝0过点A(3，0)，B(0，2)，直线l必过点C(0，－3)，当直线l过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而可得直线l的倾斜角的取值范围是π6，π2.12．A[解析]只有当直线x＝a与线段AC相交时，x＝a才可将△ABC分成面积相等的两部分．S△ABC＝12×3×3＝92，设x＝a与AB，AC分别相交于D，E，则S△ADE＝12×a×32a＝12×92，解得a＝3(负值舍去)．13．x＝12或x－3y＋1＝0[解析]易求得两直线交点的坐标为12，32，显然直线x＝12满足条件．当斜率存在时，设过该点的直线方程为y－32＝kx－12，化为一般式得2kx－2y＋3－k＝0，因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k|4＋4k2＝12，解得k＝33，所以所求直线的方程为x－3y＋1＝0.14.12，－16[解析]由a＋2b＝1得a＝1－2b，所以(1－2b)x＋3y＋b＝0，即b(1－2x)＋x＋3y＝0，联立1－2x＝0，x＋3y＝0，得x＝12，y＝－16，故直线必过定点12，－16.15．x＋y＋5＝0或3x－2y＝0[解析]当直线过原点时，所求直线的方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，易得所求直线的方程为x＋y＋5＝0.16．(2，2)[解析]易知当点P为直线AB与直线y＝x的交点时，|PA|＋|PB|的值最小．直线AB的方程为y－5＝5－（－1）3－1(x－3)，即3x－y－4＝0.解方程组3x－y－4＝0，y＝x，得x＝2，y＝2.所以当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2，2)．17．解：(1)由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋2＝tan60°x，即3x－y－2＝0.(2)设直线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，令y＝0得x＝233；令x＝0得y＝－2.所以S△OAB＝12OA·OB＝12×2×233＝233，故所求三角形的面积为233.18．解：联立{x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，解得x＝0，y＝2，所以交点坐标为(0，2)．(1)因为直线l与直线3x－4y＋1＝0平行，所以k＝34，故直线l的方程为3x－4y＋8＝0.(2)因为直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直，所以k＝35，故直线l的方程为3x－5y＋10＝0.19．解：由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0，∵点Q(2，2)到直线l2的距离为1，∴|2k－2－ak|k2＋1＝1，①又∵直线l1的方程为y＝－k(x－a)，且直线l1过点P(－3，3)，∴ak＝3－3k.②由①②得|5k－5|k2＋1＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，解得k＝43或k＝34.∴当k＝43时，代入②得a＝－34，此时直线l2的方程4x－3y＋3＝0；当k＝34时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0.综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.20．解：由已知易得直线AB的斜率为2，∵A点坐标为(0，1)，∴AB边所在的直线方程为2x－y＋1＝0.联立2x－y＋1＝0，2x＋y－3＝0，解得x＝12，y＝2，故直线AB与AC边上的中线的交点为B12，2.设AC边中点D(x1，3－2x1)，C(4－2y1，y1)，∵D为AC的中点，∴由中点坐标公式得2x1＝4－2y1，2（3－2x1）＝1＋y1，解得x1＝1，y1＝1，∴C(2，1)，∴BC边所在的直线方程为2x＋3y－7＝0，AC边所在的直线方程为y＝1.21．解：设Q关于y轴的对称点为Q1，则Q1的坐标为(－2，0)．设Q关于直线l的对称点为Q2(m，n)，则QQ2的中点Gm＋22，n2在直线l上．∴m＋22＋n2＝4，①又∵QQ2⊥l，∴nm－2＝1.②由①②得Q2(4，2)．由物理学知识可知，点Q1，Q2在直线EF上，∴kEF＝kQ1Q2＝13.∴直线EF的方程为y＝13(x＋2)，即x－3y＋2＝0.22．解：(1)①当k＝0时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为y＝12；②当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为G(a，1)，所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有kOG·k＝－1⇒1a·k＝－1⇒a＝－k，故点G的坐标为G(－k，1)，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为P－k2，12，折痕所在的直线方程为y－12＝kx＋k2，即y＝kx＋k22＋12.综上所述，折痕所在的直线方程为y＝kx＋k22＋12.(2)当k＝0时，折痕的长为2；当－2＋3≤k0时，折痕所在的直线交BC于点M2，2k＋k22＋12，交y轴于点N0，k2＋12，∵|MN|2＝22＋k2＋12－2k＋k22＋122＝4＋4k2≤4＋4×(7－43)＝32－163，∴折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)．而2(6－2)2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．