导数与函数的零点问题

导数与函数的零点问题考法一判断函数零点的个数[典例]设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．[解]由题设，g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x＞0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x＞0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点．所以φ(x)的最大值为φ(1)＝23.由φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m＞23时，函数g(x)无零点；②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m＜23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m＞23时，函数g(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜23时，函数g(x)有两个零点．[解题技法]函数零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；[口诀记忆]几个交点几个根，正负极值定乾坤；求根问题要通变，分离参数放左边.(2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”．[过关训练]1．[口诀第1、2句]已知函数f(x)＝3lnx－12x2＋2x－3ln3－32，求方程f(x)＝0的解的个数．解：因为f(x)＝3lnx－12x2＋2x－3ln3－32(x＞0)，所以f′(x)＝3x－x＋2＝－x2＋2x＋3x＝－x－3x＋1x，当x∈(0,3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(3)＝3ln3－92＋6－3ln3－32＝0，因为当x→0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以方程f(x)＝0只有一个解．2．[口诀第3、4句]设f(x)＝x－1x－2lnx.(1)求证：当x≥1时，f(x)≥0恒成立；解：证明：f(x)＝x－1x－2lnx的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝1＋1x2－2x＝x2－2x＋1x2＝x－12x2≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立．故当x≥1时，f(x)≥0恒成立得证．(2)讨论关于x的方程x－1x－f(x)＝x3－2ex2＋tx根的个数．解：化简方程得2lnx＝x3－2ex2＋tx.注意到x＞0，则方程可变为2lnxx＝x2－2ex＋t.令L(x)＝2lnxx，H(x)＝x2－2ex＋t，则L′(x)＝21－lnxx2.当x∈(0，e)时，L′(x)＞0，∴L(x)在(0，e)上为增函数；当x∈(e，＋∞)时，L′(x)＜0，∴L(x)在(e，＋∞)上为减函数．∴当x＝e时，L(x)max＝L(e)＝2e.函数L(x)＝2lnxx，H(x)＝(x－e)2＋t－e2在同一坐标系内的大致图象如图所示．由图象可知，①当t－e2＞2e，即t＞e2＋2e时，方程无实数根；②当t－e2＝2e，即t＝e2＋2e时，方程有一个实数根；③当t－e2＜2e，即t＜e2＋2e时，方程有两个实数根．考法二由函数零点个数求参数[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；[解]证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.[解]设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0,2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－4ae2是h(x)在(0，＋∞)上的最小值．①当h(2)＞0，即a＜e24时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点．②当h(2)＝0，即a＝e24时，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.③当h(2)＜0，即a＞e24时，因为h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－16a3e4a＝1－16a3e2a2＞1－16a32a4＝1－1a＞0，故h(x)在(2,4a)上有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝e24.[解题技法]根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．[过关训练]1．(2019·安阳一模)已知函数f(x)＝x33＋x22与g(x)＝6x＋a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是____________．解析：原问题等价于函数h(x)＝x33＋x22－6x与函数y＝a的图象有3个不同的交点，由h′(x)＝x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)，得x＝2或x＝－3，当x∈(－∞，－3)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(－3,2)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．且h(－3)＝272，h(2)＝－223，数形结合可得a的取值范围是－223，272.－223，2722．(2019·赣州模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是___________．解析：∵f(x)＝aex－x－2a，∴f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ln1a，函数f(x)在－∞，ln1a上单调递减，在ln1a，＋∞上单调递增，∴f(x)的最小值为fln1a＝1－ln1a－2a＝1＋lna－2a.令g(a)＝1＋lna－2a(a＞0)，则g′(a)＝1a－2.(0，＋∞)当a∈0，12时，g(a)单调递增；当a∈12，＋∞时，g(a)单调递减，∴g(a)max＝g12＝－ln2＜0，∴f(x)的最小值为fln1a＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)．