(5)债务偿还

1债务偿还RepayingLoans孟生旺中国人民大学统计学院主要内容分期偿还法（amortizationmethod）等额分期偿还变额分期偿还偿债基金法（sinkingfundmethod）等额偿债基金变额偿债基金抵押贷款3债务偿还的两种方法分期偿还法（amortizationmethod）：借款人分期偿还贷款，在每次偿还的金额中，既包括当期应该支付的利息，也包括一部分本金。•包括：等额，变额偿债基金法（sinkingfundmethod）：借款人在贷款期间分期偿还贷款利息，并要积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性偿还贷款本金。•包括：等额，变额4一、等额分期偿还(levelinstallmentpayments)在等额分期偿还法中，需要解决的问题包括：（1）每次偿还的金额(loanpayments)是多少？（2）未偿还的本金余额（loanbalance，loanoutstanding,principaloutstanding）是多少？（3）在每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？51．每次偿还的金额贷款的本金是L0期限为n年年实际利率为i每年末等额偿还R则每次偿还的金额R可表示为（levelloanpayment）0|niLRa62．未偿还本金余额问题：假设贷款的本金是L0，期限为n年，年实际利率为i。每次偿还的金额R。确定t时刻尚未偿还的贷款。方法：将来法（prospectivemethod）过去法（retrospectivemethod）7方法一：将来法（prospectivemethod）把将来需要偿还的金额折算成计算日（k时）的现值，即得未偿还本金余额。Loanbalance=PV(futureloanpayments)第k期末，将来还需偿还(n–k)次，故未偿还本金余额为|=knkiLRa0||nkiniLaa8方法二：过去法（retrospectivemethod）从原始贷款本金的累积值中减去过去已付款项的累积值。Loanbalance=AV(loan)-AV(loanpaymentsmadetodate)原始贷款本金累积到时刻k的值为已经偿还的款项到时刻k的累积值等于，所以未偿还本金余额为0(1)kLi0(1)kkkiLLiRskiRs9命题：将来法与过去法等价。证明：0|(1)kkkiLLiRs||(1)knikiiRaRs1(1)1(1)nkkviRiii1nkvRi|nkiRa（过去法,第k年末）（将来法）10Example：Aloanisbeingrepaidwith20annualpaymentsof$1000each.Atthetimeofthefifthpayment,theborrowerwishestopayanextra$2000andthenrepaythebalanceover12yearswitharevisedannualpayment.Iftheeffectiverateofinterestis9%,findtheamountofrevisedannualpayment.11解：由将来法，5年后的余额为如借款人加付2000，则余额成为6060.70。假设修正付款额为X，价值方程为故515|10001000(8.0607)8060.70La12|6060.70Xa6060.70846.387.1607X12Exercise：Aloanisbeingrepaidwith10paymentsof$2000followedby10paymentsof$1000attheendofeachhalf-year.Ifthenominalrateofinterestconvertiblesemiannuallyis10%,findtheoutstandingloanbalanceimmediatelyafterfivepaymentshavebeenmadebyboththeprospectivemethodandtheretrospectivemethod.13解：实际利率为每半年5％；（1）由将来法，未偿还贷款余额为原始贷款为（2）由过去法，未偿还贷款余额为515|5|1000()1000(10.37974.3295)$14,709Laa020|10|1000()1000(12.46227.7217)$20184Laa555|20184(1.05)2000Ls20184(1.27628)2000(5.5256)14,709143、每期偿还的本金和利息基本原理：在分期付款中，首先偿还利息，然后偿还本金。设第k次的还款额为R，利息部分为Ik，本金部分为Pk，记Lk为第k次还款后的未偿还贷款余额，则有111(1)nkkknkiIiLiRaRv1nkkkPRIRvk的减函数k的增函数15时间k还款额利息Ik本金Pk未偿还贷款余额0|nia11|1nniiavnv1|nia2111|1nniiav1nv2|nia……………kt111|1nknkiiav1nkv|nkia……………n－1122|1iiav2v1|ian11|1iiavv0总和n|nina|nia递减几何递增将来法分期偿还表16本金和利息分离图0500010000150002000025000300003500014710131619222528时期金额利息本金例：30年贷款，贷款利率6％，每年还款30000元，本息图示如下：17例：一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6%，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。解：年实际利率为6%，故季度实际利率为i=(1+0.06)0.25–1=0.01467第四次偿还的本金：P4=Rv8–4+1=Rv5第八次偿还的本金：P8=Rv8–8+1=Rv所以P8/P4=v–4=(1+i)4，即P8=P4(1+i)4=2000(1.01467)4=2120（元）18Example：A$1000loanisbeingrepaidbypaymentsof$100attheendofeachquarterforaslongasnecessary,plusasmallerfinalpayment.Ifthenominalrateofinterestconvertiblequarterlyis16%,findtheamountofprincipleandinterestinthefourthpayment.19解：第三次还款后的未偿还贷款余额为从而有注意：此例无需算出最后一次付款的时期与金额。注：另一种解法（麻烦）333|0.041000(1.04)100812.70Ls40.04812.7032.51I410032.1567.49P0.04113.02392414100010013.0239210010067.49nnkkanPvPv20Exercise：Aloanisbeingamortizedbymeansoflevelmonthlypaymentsatanannualeffectiveinterestrateof8%.Theamountofprincipalrepaidinthe12-thpaymentis1000andtheamountofprincipalrepaidinthet-thpaymentis3700.Calculatet.211/12(18%)10.006434j月实际利率为第12次付款中的本金为（R为每次的付款额，n为付款总次数）第t次付款中的本金为解上述方程组即得t=216(121)1000(10.006434)nR＋(1)3700(10.006434)ntR＋22Example：Aborrows$10,000fromBandagreestorepayitwithequalquarterlyinstallmentofprincipleandinterestat8%,convertiblequarterlyoversixyears.AttheendoftwoyearsBsellstherighttoreceivefuturepaymentstoCataprice,whichproducesayieldrateof10%convertiblequarterlyforC.Findthetotalamountofinterestreceived:(1)byC,and(2)byB.23解：六年中A的每次还款额为C的利息C的总收入：16(528.71)＝8459.36C的买价（支出）：从而C的利息为：8459.366902.31=1557.0524|0.0210,00010,000528.7118.9139a16|0.025528.716902.31a24B的利息B在前2年的总收入为8×528.71=4229.68（A偿还的金额）6902.31（从C获得的资金，卖价）B在期初借出的资金为10000元故B的利息收入为4229.68+6902.30-10000=1131.9925注：A在整个贷款期间所付的总利息为(24)(528.71)10000=2689.04等于B和C收到的利息额之和，即1557.05+1131.99=2689.04C的利息B的利息26Exercise：Anamountisinvestedatanannualeffectiverateofinterestiwhichisjustsufficienttopay1attheendofeachyearfornyears.Inthefirstyearthefundactuallyearnsrateiand1ispaidattheendofthefirstyear.However,inthesecondyearthefundearnsratej,whereji.Findtherevisedpaymentwhichcouldbemadeattheendsofyear2throughn;(1)Assumingtherateearnedrevertsbacktoiagainafterthisoneyear;(2)Assumingtherateearnedremainsjfortherestofn-yearperiod.27解：，而第一年底的未偿还贷款余额。设从第二年末开始的付款为X，则（1）一方面有另一方面，L2等于从第三年开始的所有还款的现值之和，即0|niLa11|niLa21|niIja21|niPXja21|1|1|()(1)ninniiLajXXjaa22|niLXa第2年末的利息第2年末的本金第2年末的贷款余额未来法计算的贷款余额28从而有：2|1|(1)niniXajaX2|1|(1)(1)niniXaja1|1|(1)niniXaja1|1|(1)(1)niniXiaja111jXi29(2)类似地，由L2的两种算法可得即有2|1|(1)njniYajaY2|1|(1)(1)njniYaja1|1|(1)njniYaja1|1|(1)(1)njniYjaja1|1|ninjaYa此式大于1还是小于1？与X比较哪个大？30二、等额偿债基金含义：借款人分期偿还贷款利息(servicepaymentoftheloan,generallyequalstheamountofinterestdue)，同时积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。例：假设某人从银行获得10000元的贷款，期限为５年，年利率为６%。双方约定：（１）