高中数学异面直线夹角自编

..浅谈异面直线所成的角..异面直线所成角的求法求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法。一、几何法：几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734170∴∠DB1E=cosarc734170。解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170，∴∠C1BE=cosarc734170。..课堂思考：1.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=3，求DB和AC所成角的余弦值.【例2】如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.中位线平移法分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=352，∴cos∠BOE=734170∴∠BOE=cosarc734170ABCDjD1C1B1A1BACD例2题图..解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=732，cos∠OEF=734170，∴异面直线B1D与BC1所成的角为cosarc734170。解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=352，cos∠DOF=734170，∴∠DOF=cosarc734170。课堂练习1．在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。补形法EDBCA..分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734170，∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc734170。课堂练习：求异面直线A1C1与BD1所成的角在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，二、矢量法。利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法..之一。常有向量几何法和向量代数法两种。解法一：如图⑦，连结DB、DC1，设异面直线DB1与BC1所成的角为，1111DBcosBCDBBC，而11DBBC=1DB(111BBBC)=11DBBB+111DBBC=1DB1BBcos〈1DB，1BB〉+1DB11BCcos〈1DB，11BC〉∵BB1∥DD1∴〈1DB，1BB〉=〈1DD，1DB〉=∠D1DB1cos∠D1DB1=434〈1DB，11BC〉=180°－∠DB1C1∵cos∠DB1C1=334∴cos〈1DB，11BC〉=－cos∠DB1C1=－33411DBBC=7∴cos=734170，734arccos170解法二：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。设1DB和1BC的夹角为，则1111DBcosBCDBBC=734170∴异面直线1DB与1BC所成的角为734arccos170。课堂练习：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。向量几何法：为空间一组基向量..所以异面直线A1C1与BD1所成的角为向量代数法：以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），所以异面直线A1C1与BD1所成的角为三、公式法公式法实质是矢量几何法的推广：公式一、定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为则有证明，CADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB而2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB..所以有：例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得由定理得：所以已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos21公式2用几何法研究：在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B奎屯王新敞新疆连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，APAO1cos.在直角△ABC中，AOAB2cos.在直角△ABP中，APABcos.所以coscoscos21APABAOABAPAO所以coscoscos21成立奎屯王新敞新疆21cbaPOABBCBCA111AD..（7）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（D）（A）34（B）54（C）74(D)34解：设BC的中点为D，连结1AD，AD，易知1AAB即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosADADAADDABAAAB.故选D讲解习题：例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）例2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）例3已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）例4在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）..作业：3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．5、如图，在三棱锥S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，且8C,6SA,5BEF，则异面直线SA与BC的夹角为多少？将上例中的问题改为求SF与BE所成角的余弦值.解：连结CF，Q取CM的中点G，连结EG、BG，则EG//SF，∴∠BEG为异面直线SF、BE所成的角.在ΔBEG中，利用余弦定理可解得：COS∠BEG=32.高考题:例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．515arccosB．4C．510arccosD．21A1B1C1DABCDEFG..解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝222222111(2)(3)(5)2223BGGFBFBGGF＝0，故∠B1GF＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是所求的角，从而纳入三角形中解决．例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．解：取AE中点G,连结GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝21ED，BN＝21ED．∴GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG∵A的射影为B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.ABCDEMN图1ABCDEMNG图2..例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA平面ABC，90ACB且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''DBCADBCP，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即tan2PDDBADB．故填2．评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCADBCP，从而将问点题简化．［例4］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=3a，CP=DE=25a,A′P=213a由余弦定理得cosA′CP=1515故A′C与DE所成角为arccos1515.［例5］如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.1D1B1CPDBCAPBCA..求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.221122211111212211111122122211111222221112221111111212222||||||))((||))((,2||,)2(.22||,22||,0,21120cos,21120cos90,,120,,||||,|:|222||||||))(())((||)1(:baABAAADABADAAABADAAABADAAABADAABDBDBDa