异面直线PPT

异面直线知识回顾：异面直线的定义：异面直线的判断方法：不同在任一平面里的直线1、不平行也不相交的直线。2、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？A1B1BAD1C1DC答案：D1C1、C1C、CDD1D、AD、B1C1d用平行直线之间的距离d可确定它们的位置。用相交直线所成的直角或锐角可以确定两相交直线的位置关系。aabb那又应用什么来确定两异面直线的位置关系呢？abOa1b1a,b是两异面直线，若在空中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a1,b1,则a1,b1所成的锐角或直角的大小一定吗？为什么？想一想帮助解答在空中再任意取一点O2，作a2∥a、b2∥b.那么a1b1,a2b2所成的直角或锐角相等吗？这说明了什么问题？abOa1b1O2a2b2分别与异面直线平行的相交直线a1b1所成的直角或锐角只与异面直线的位置有关，与O点位置无关。a,b是两异面直线，在空中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a1,b1,则称a1,b1所成的锐角或直角为abOa1b1两异面直线a,b所成的角。定义思考：1、异面直线所成角的取值范围是多少？2、在实际问题中，是否在空中任找一点作为O点，应如何找O点才有利于作平行线和计算？异面直线所成角a的取值范围是0°a≤90°一般来说，O点要取在其中一条异面直线上，或是题目条件中某一直线上的一些特殊点，如中点。O点的取法：ababa1O返回A1B1BAD1C1DC判断每对异面直线所成的角是多少？1。A1B与D1C12。A1B与C1C3。A1B与CD4。A1B与C1D6。B1B与AD7。A1B与B1C5。A1B与B1D145°45°45°90°60°90°60°帮助解答abb1a1O特殊地，若a1,b1所成的角为直角，也就是说异面直线所成的角等于90°时，称：两异面直线互相垂直思考1、和一直线垂直的直线有几条？返回2、互相垂直的直线一定相交吗?3、垂直于同一直线的两直线平行吗？已知空间四边形ABCD两对角线互相垂直，且AC=6，BD=8，E、G分别是AB、CD上的中点，求线段EG的长度。ABCEGDF练习如何体现两对角线互相垂直？思路：两对角线互相垂直，即他们所成的角为直角，应把这个角作出又E、G是AB、CD的中点，考虑作AD的中点F，利用中位线EF、GF组成三角形EFG进行计算。解：取AD中点F，连结EF，FG，则EF是△ABD的中位线，FG是△ADC的中位线。ABCEGDF∴EF∥BDFG∥AC，∴∠EFG为异面直线AC、BD所成的角。∵BD=8,AC=6∴EF=4,FG=3又∵AC垂直BD∴∠EFG=90°∴在Rt△EFG中，5432222FGEFEG解答若a⊥b，b⊥c，则a，c的位置关系是什么？这样的b有几条？请同学们合作，用笔比量一下。若a,c是异面直线，a⊥b，b⊥c，b与a,c都相交，这样的b又能有几条？请同学们试一下。a,c可以平行、相交或异面，满足条件的b有无数条。★与异面直线都垂直且相交的直线有且只有一条，它叫两异面直线的公垂线abc如图所示：a⊥b，b⊥c且b与两异面直线a、c都相交，把直线b叫作a,c两异面直线的公垂线。★公垂线夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。在两异面直线上各取一点，这两点间距离的最小值就是两异面直线的距离。balABl是a,b的公垂线，且与a,b的交点分别是A、B那么线段AB的长叫异面直线a,b的距离。EF如图所示：EFABA1B1BAD1C1DC找出每对异面直线的公垂线，若正方体的边长为1，请回答每对异面直线的距离是多少。1、A1B与D1C1公垂线是_____距离是__2、A1B与C1C公垂线是_____距离是____3、A1B与CD公垂线是_____距离是____4、B1B与AD公垂线是_____距离是____5、A1A与B1C1公垂线是_____距离是____A1D1BCBCABA1B111111例1、等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若AD=1，且E是AD的中点，求异面直线EB、DC所成的角的余弦。2ACDBE如何作出异面直线EB、DC所成的角？作出了异面直线所成的角后应如何进行计算？思考：考虑利用中点E作△DAC的中位线EF，∠BEF就是异面直线所成的角。利用△BEF。（参考解答）F例2、空间四边形ABCD四边长为10，对角线BD=8，AC=16，E，F分别是AC、BD的中点求证:(1)EF是AC、BD的公垂线段；(2)求出异面直线AC、BD的距离。ABCDEFEF是AC、BD的公垂线意味着什么？上面的答案再加上条件：E、F是中点，可以引出一些什么样的结论？思考EF⊥AC，EF⊥BDEF是AC的中垂线，△AFC是等腰三角形。（参考解答）ABCDEF连结EB、ED、AF、FC。∵ABCD四边长都为10∴△ADC≌△ABC∵BE、DE是两三角形对应边上的中线∴BE=DE∴△EBD是等腰三角形∵EF是底边上的中线∴EF⊥BD同理：EF⊥AC，∴EF是AC、BD的公垂线段。(2)△ABC中AB=BC=10，AC=16，E为AC中点∴BE=6Rt△BEF中，BF=452EFBD,AC的距离为异面直线返回例三、长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB、BC、AA1的长，作出BD1与AC所成的角或补角，并指明可以在那一个三角形中求出此角。CDC1D1BAB1A1GO作AC、BD的交点O，DD1中点的G，连结GO，OD，则∠GOD，可作为BD1与AC所成的角，可在△GOD中求这个角。总结1、异面直线所成的角即与之分别平行的一组相交直线所成的直角或锐角，当异面直线所成的角为直角时，称两异面直线垂直。注意：垂直末必相交。先在其中一条直线上找一点（或找图形中与两异面直线都相关的一点），作异面直线的平行线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的直角或锐角。然后看这个角所在的三角形是哪一个，利用三角形性质和三角函数进行计算。2、在解决异面直线所成的角的问题时，常经过以下步骤：若a⊥b，b⊥c，则a，c的位置关系有三种：平行，相交，异面平行abc异面abcabc相交返回A1B1BAD1C1DC4、A1B与C1D所成的角即A1B与所成的角，为。5、A1B与B1D1所成的角即A1B与所成的角，三角形为，所以A1B与B1D1所成的角为。A1B1BAD1C1DCAB1BDA1BD正三角形90°60°返回第4题第5题101021cos,25,21,1,22,21,2121,25,21,1,.,.,BEEFBEFEBFFBAFABABFRtEFAEACAFAEFRtEBAEABEABRtDCBEBEFFBEFFAC中在等腰中在中在中在所成的角即为则连中点取例1简单的参考解答过程：返回