一平面图形的面积

一、平面图形的面积二、由平行截面面积求体积第十章定积分的应用（一）由平行截面面积求体积直接应用－－－求旋转体的体积面积公式（直角坐标，极坐标）一、平面图形的面积如果函数y=f(x)(f(x)0)在区间[a,b]上连续，则由曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积为复习：Oxyaby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx。由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积S如何求？考虑如下问题：Oxy1、若图形在x轴上方，aby=f(x)y=g(x)y=g(x)注意图形的形成S=baf(x)dxbag(x)dx=ba[f(x)g(x)]dx。=ba[f(x)g(x)]dx。S=baf(x)dxbag(x)dx=ba[f(x)g(x)]dx。aby=f(x)y=g(x)Oxy2、若图形不在x轴上方，y=f(x)my=g(x)mm将图形平移到x轴的上方S=ba[f(x)m]dxba[g(x)m]dx=ba[f(x)g(x)]dx。由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积S如何求？考虑如下问题：1、若图形在x轴上方，S=baf(x)dxbag(x)dx=ba[f(x)g(x)]dx。=ba[f(x)g(x)]dx。S=baf(x)dxbag(x)dx=ba[f(x)g(x)]dx。S=ba[f(x)m]dxba[g(x)m]dx结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线=ba[f(x)g(x)]dx。Sx=a、x=b所围成的图形的面积为注：(1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。Oxyaby=f(x)g(x)=0Oxyaby=g(x)f(x)=0Oxyaby=f(x)g(x)=0aby=f(x)g(x)=0Oxyaby=f(x)g(x)=0(2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。(3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线=ba[f(x)g(x)]dx。Sx=a、x=b所围成的图形的面积为注：(1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。(4)如果y=f(x)有分段点c，则需把图形分割后计算。Oxyaby=f(x)g(x)=0y=f1(x)y=f2(x)cS=ba[f(x)g(x)]dx=ca[f1(x)g(x)]dxbcf2(x)g(x)]dx。S=ba[f(x)g(x)]dx=ca[f1(x)g(x)]dxbcf2(x)g(x)]dx。结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线=ba[f(x)g(x)]dx。Sx=a、x=b所围成的图形的面积为注：(1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。(2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。(3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。讨论：由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、y=d所围成的图形的面积S如何求？Oxycdx=y(y)x=j(y)dyyySdc)]()([yj=。答案：结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线=ba[f(x)g(x)]dx。Sx=a、x=b所围成的图形的面积为abxyOS1结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线=ba[f(x)g(x)]dx。Sx=a、x=b所围成的图形的面积为例1.求椭圆所围成的图形面积。解：设椭圆在第一象限的面积为S1，则椭圆的面积为22221xyab=22022000241,letsin,weget4cos(1cos2).4aaxSydxbdxxataSabtdtabtdtab======221xyba=解：由对称性，图形面积是第一象限部分的两倍。S=2[]dxxxdxxx)112()211(23121022dxxxdxxx)112()211(23121022x3=所围成的图形的面积。例2求曲线y=21x2、y211x=与直线x3=、xO-11yy211x=3=3y=21x2解：由对称性，图形面积是第一象限部分的两倍。S=2[]dxxxdxxx)112()211(23121022103)6arctg(xx303)arctg6(xx=2[]x3=所围成的图形的面积。dxxxdxxx)112()211(23121022103)6arctg(xx303)arctg6(xx)233(31=.11例2求曲线y=21x2、y211x=与直线x3=、例3计算抛物线y2=2x与直线xy=4所围成的图形的面积。8y-22x2O444(8,4)(2,2)解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间[2，4]。A=18]61421[)214(4232242==yyydyyy。=18。思考：为什么不向x轴投影？S=18]61421[)214(4232242==yyydyyy一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则该小区间上曲边扇形面积的近似值为jd)(21d2=S所求曲边扇形的面积为jd)(21212==dAA)(j=rxd对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:xa2odd)(212a=20A22a=331022334a=到2所围图形面积.ttadcos82042=例6.计算心形线所围图形的面积.解:xa2odd)cos1(2122a=02ad2cos44(利用对称性)2=t令=28a43212223a=二、由平行截面面积求体积设一立体在x轴上的投影区间为[a,b]，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。V=ni1S(i)xi。(3)令l=max{xi}，则立体体积为(1)在[a,b]内插入分点：a=x0x1x2xn1xn=b，(2)过xi(i=1,2,,n1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi1xixnbV==ni10limlS()xi=baS(x)dx。iabco垂直x轴的截面是椭圆1)1()1(22222222=axaxczby例7.计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为bc2=0abca34=特别当a=b=c时就是球体体积.xbcaxd)1(22=aV02x233axx的体积.例8.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,222Ryx=解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA=)(RxR=RxxRV022dtan)(2123231tan2xxR=0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.oRxyxoRxy思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?),(yx=)(yA提示:tan2yx22tan2yRy==VR0tan2yyRyd22Oxbay区间[a,b]上截面积为S(x)的立体体积：右图为由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。y=f(x)V=ba[f(x)]2dx=ba[f(x)]2dx。V=baS(x)dx。关键是确定截面面积2()()Sxfx=当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,=dcdyyV2)(jxoy)(yxj=cdy机动目录上页下页返回结束2()()Syyj=截面面积为于是有例9连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。解：过原点O及点P(h，r)的直线方程为yxhr=。V=h0(xhr)2dx=22hrh0x2dx=31hr2。所求圆锥体的体积为=22hrh0x2dx231hr=。xhry=hrxyO曲线y=f(x)绕x轴旋转而成的立体体积：V=ba[f(x)]2dx。区间[a,b]上截面积为S(x)的立体体积：V=baS(x)dx。=22hrh0x2dx231hr=。(,)Prhayxb例10.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则截面面积xxaabad)(220222=(利用对称性)=3222312xxaab0a234ab=o=adxyV022x2()Sxy=于是方法2利用椭圆参数方程则xyVad202=ttabdsin232=22ab=32234ab=特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343axyoa2例11.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxd202=利用对称性=2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033=ttad2sin16063=uuadsin322063==332a6543212325a=ay)2(tu=令xyoa2a绕y轴旋转而成的体积为a2=22)sin(ttattadsin2)(2yxx=22)sin(ttattadsin0注意上下限!=2023dsin)sin(tttta)(1yxx=注意分段点！分部积分对称关于2注202dsin)sin(tttt=20322d)sinsin2sin(tttttt)(=tu令=uuusin)2(22uu2sin)(2uudsin3(利用“偶倍奇零”)=0dsin4uuu02dsin4uu24=uudsin8202221842=ox12yBC3A例12.求曲线132=xy与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:利用对称性,=y10x,22x21x,42x故旋转体体积为=V432xxd)]2(3[21022xxd)1(2361022=xxd)1(22122xxd)1(2202215448=在第一象限xxd)]4(3[22122分部积分对称关于2注202dsin)sin(tttt=20322d)sinsin2sin(tttttt)(=tu令=uuusin)2(22uu2sin)(2uudsin3(利用“偶倍奇零”)=0dsin4uuu02dsin4uu24=uudsin8202221842=作业：P242T1，5，P246T2预习：第三节平面曲线的弧长与曲率