突破2015年中考-回顾上海市近年中考数学难题

突破2015年高考，回顾上海市近年中考数学难题温馨提醒：1、值得教师与优秀数学尖子生值得思考的5年中考难题；2、按时间顺序排列，值得查看。记得点评，与反思；3、题目在前，答案在后，反思参入，总结个人写。上海市2009年中考数学试卷（重点难题）温馨提示：难点在于第2、3小问，第一问基础题。25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABCABBCADBCP°，，，∥，为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQADPCAB（如图8所示）．（1）当2AD，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长；（2）在图8中，联结AP．当32AD，且点Q在线段AB上时，设点BQ、之间的距离为x，APQPBCSyS△△，其中APQS△表示APQ△的面积，PBCS△表示PBC△的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求QPC的大小．ADPCBQ图8DAPCB（Q））图9图10CADPBQ上海市2010年中考数学试卷（重点难题）温馨提示：难点在于第2、3小问，第一问基础题，后两问，考察学生思维化。25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．上海市2011年中考数学试卷（重点难题）温馨提示：考虑问题的多种情况与可能。18．Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=_________．温馨提示：难点在于第3小问，第一问基础题，第二问提高，第三问考虑思路。24．已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO=MA．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．温馨提示：难点在于第2、3小问，第一问基础题，后两问，考察学生思维与计算。25．（2011•上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．上海市2012年中考数学试卷（重点难题）温馨提示：难点在于第2小问，第1问提高，第2问考虑思路。21、如图所示，在RtABC，90ACB，D是边AB的中点，BECD，垂足为E，已知15AC，35cosA.①求线段CD的长；②求sinDBE的值.温馨提示：难点在于第2小问，第1问提高，第2问考虑思路。23、如图所示，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BAFDAE，AE与BD相交于点G.①求证：BEDF；②当DFADFCDF时，求证：四边形BEFG是平行四边形.EDBCAEDCBAFG温馨提示：难点在于第2、3小问，第一问基础题，后两问，考察学生思维与计算。25.已知扇形AOB中，90AOB，2OAOB，C为AB上的动点，且不与A、B重合，OEAC于E，ODBC于D.①若1BC，求OD的长；②在DOE中，是否存在长度保持不变的边，若存在，求出该边的长；若不存在，请说明理由；③设BDx，DOE的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域.AOBCDE上海市2013年中考数学试卷（重点难题）温馨提示：难点在于画图与考虑思路。18．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为_________．温馨提示：难点在于第2小问，第1问提高，第2问考虑思路。23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．温馨提示：难点在于第2、3小问，第一问基础题，后两问，考察学生思维与计算。25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．上海市2009年中考数学试卷答案：25、解题思路；12,90ADABABC所以三角形BAD为等腰三角形又1,45PQADPCABPBC所以三角形BPC为等腰直角三角形所以322PC(2)过P作,PMABPHBC,交AB，BC于点M和H所以PM平行AD所以三角形BPM相似三角形BDA32324MPBMADABMPADBMAB所以设12121122112223347114283,44,22334,0APQPBCAPQPBCSxkSkMPkBMkPHKBQxAQxSAQMPxkSBCPHkyxx（3）过P作ＰＦ垂直于ＯＦ交ＢＣ于点Ｅ因为ＡＤ平行于ＢＣ90ADBPBEAPBE所以三角形ＡＤＢ相似三角形ＥＢＰ90PQADBEABPEPCPFQPEC所以三角形ＰＦＱ相似三角形ＣＥＰ909090QPECEPCCEPCQPEQPC上海市2010年中考数学试卷答案：25．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。专题：几何综合题；压轴题。分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°．∵AD=AE，∴∠AED=60°=∠CEP，∴∠EPC=30°．∴△BDP为等腰三角形．∵△AEP与△BDP相似，∴∠EPA=∠DPB=30°，∴AE=EP=1．∴在Rt△ECP中，EC=EP=；（2）设BD=BC=x．在Rt△ABC中，由勾股定理，得：（x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4．过点C作CF∥DP．∴△ADE与△AFC相似，∴，即AF=AC，即DF=EC=2，∴BF=DF=2．∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4．∴tan∠BPD=．（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1﹣a．∴且，∴DQ=3（1﹣a）．∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+[3（1﹣a）]2，解之得．∵△ADQ与△ABC相似，∴．∴．∴△ABC的周长，即：y=3+3x，其中x＞0．点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力，难度较大．上海市2011年中考数学试卷答案：18．80°或120°．考点：旋转的性质。专题：计算题。分析：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．解答：解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，∴旋转角m=∠BDB′=180°﹣∠DB′B﹣∠B=180°﹣2∠B=80°，在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°﹣∠CDB″=120°．故答案为：80°或120°．点评：本题考查了旋转的性质．关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．24．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长；（2）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．待定系数法即可求出二次函数的解析式；（3）可设D（n，n+3），根据菱形的性质得出C（n，n2_n+3）且点C在二次函数y=x2_x+3上，得到方程求解即可．解答：解：（1）在一次函数y=x+3中，当x=0时，y=3．∴A（0，3）．∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，可求OA垂直平分线上的解析式为y=，又∵点M在正比例函数，∴M（1，），又∵A（0，3）．∴AM=；（2）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．可得，解得，∴y=x2﹣x+3；（3）∵点D在一次函数的图象上，则可设D（n，n+3），设B（0，m），（m＜3），C（n，n2﹣n+3）∵四边形ABDC是菱形，∴|AB|=3﹣m，|DC|=yD﹣yC=n+3﹣（n2_n+3）=n﹣n2，|AD|==n，∵|AB|=|DC|，∴3﹣m=n﹣n2，①，∵|AB|=|DA|，∴3﹣m=n，②解①②得，n1=0（舍去），n2=2，将n=2，代入C（n，n2_n+3）∴C（2，2）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公式，菱形的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大．25．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形。专题：几何综合题。分析：（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．（2）本题需先根据EN，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出=，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值