第六章-粘性流体动力学基础

第六章粘性流体动力学基础第六章粘性流体动力学基础§流动的粘性效应§6-1流动的粘性效应一、圆柱绕流二、二元翼型绕流三、管内流动§6-2广义牛顿粘性应力公式流体作直线层流运动yxdupdyμ=一、应力张量分析dyijPp=ijeejniijiijnpnp=⋅=对于理想流体jiijjpnP=eeeeinp=−对于理想流体pn()ppx,y,z,t=这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力。这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力。mp定义平均压力()m112233ii11ppppp33=−++=−mii1pp3=−mxxxyxzxxmxyxzppppppppp−⎛⎞+⎜⎟称作平均压力偏量。100⎛⎞⎛⎞⎜⎟xxxyxzxxmxyxzxyyyyzxyyymyzpppppppPppppppppppppp⎜⎟==+⎜⎟⎜⎟⎝⎠mp010p001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠xzyzzzxzyzzpppppp⎝⎠zmmp001PDpdδδ+⎝⎠⎝⎠=−ijijmijpdpδ=−二、变形速率张量xxxxyxzEεεεεεεεεεεε⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟i+j+kxyzyyxyyyzzzxzyzzEεεεεεεεεεεε⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠i+j+kxxxxyxzyyxyyyzεεεεεε==εi+j+kεi+j+kyyxyyyzxzxzyzzEεεε=εi+j+kijjiEVV1ε=⎛⎞∂∂⎜⎟ijeejiijjiji2xxEεεεε==+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠===εnneeeneiinijijEεε===iiijijεnneeeneii三、应力张量与变形速率张量的关系Stokes关于应力与变形速率之间的一般关系的三条假定：假定：（1）应力与变形速率程线性关系（2）应力与变形速率的关系在流体中各向同性（3）在静止流体中切应力为零正应力的（3）在静止流体中切应力为零，正应力的数值为静压力p。（一）偏应力张量与变形速率张量之间的关系DE的关系ijijijDaEbdabδεδ=+=+ijijij1∂对于牛顿平板实验yxyx1udpa2y∂==∂yxupyμ∂=∂ya2d2bμδ∂=ijijijd2bμεδ=+1Vd2b∂11111m1Vdpp2bxVμ∂=+=+∂∂22222m2Vdpp2bxμ∂=+=+∂33333mVdpp2bxμ∂=+=+∂3312xVVVppp3p23bμ∂⎛⎞∂∂∂++=+++⎜⎟＋112233m123ppp3p23bxxx1μ++=+++⎜⎟∂∂∂⎝⎠＋()m1122331pppp3=−+＋312VVV23b0⎛⎞∂∂∂+++⎜⎟31212323b0xxxμ+++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠2b3μ=−∇Vi32D2E3μμδ=−∇Vi3μμ（二）平均压力偏量与变形速率之间的关系平均压力与平衡态压力是有差别的，这mpp平均压力与平衡态压力是有差别的，这个差别反映了由于速度场的不均匀所造成的流体质点的状态对于平衡态的偏离mpp体质点的状态对于平衡态的偏离。由斯托克斯的第(1),(2)条假定miiii1ppppgc3ε⎛⎞−=−−=+⎜⎟⎝⎠利用斯托克斯的第三条假定。在静止流体中3⎝⎠iim0,pp,c=0ε==∴miic0ppggε∴−==∇Vi'()'m'ppμδδ−=−∇∇VVi()mijij'ppppδμδμ−=−∇=−∇VV+iim'ppμμ=−∇V+i为第二粘性系数，或体变形粘性系数。μ为第粘性系数，或体变形粘性系数（三）应力张量与变形速率张量的一般关系式'ijijmijijijijij2pdp2p3δμεμδμδδ=−=−∇∇−V+Vii'ijijij2pp23μμδμε⎡⎤⎛⎞=−+−∇+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦Vi3⎝⎠⎣⎦称为广义牛顿粘性应力公式。（四）讨论（四）讨论（1）应力与变形速率成线性关系的假定，对于大多数真实流体来说是与实际相符的。（2）应力与变形速率关系在流体中各向同性（2）应力与变形速率关系在流体中各向同性是建立在流体分子结构各向同性的前提之下的对于绝大多数的流体来说这个前下的。对于绝大多数的流体来说，这个前提能够得到满足。（3）平均压力偏量取决于。①对于不可压缩流体但'μ−∇Vimpp−①对于不可压缩流体，但这四个值不相等。mpp=m112233p,p,p,p②对于静止流体mm112233pp,ppppp==此时＝＝＝③对于可压缩流体，在一般情况下，与相比往往是小量。斯托克斯又假定'μ∇Vip相比往往是小量。斯托克斯又假定'0μ=实际上，对绝大多数气体和液体的真实流动mpp=实际上，对绝大多数气体和液体的真实流动都可以认为。（４）第粘性系数只可能是正值'0μ=（４）第二粘性系数只可能是正值。即'μmpp即mpp§6-3粘性流体动力学基本方程一.连续方程Dρ二运动方程0DDtρρ+∇⋅V=二.运动方程1PDDtρ=+∇⋅VfDtρP()=()=ijijjiijiijijiijjiippppp∂∂∂∂∂∇⋅=⋅⋅=eeeeeeee=e()()iijijiijjiiiiijjpxxxxx∂∂∂∂∂1ijipDVf∂ijiijpfDtxρ=+∂111[()][()]jiiiVDVVpfDtxxxxxρρρ∂∂∂∂2∂′=−+μ−μ∇⋅+μ+∂∂3∂∂∂ViijjiDtxxxxxρρρ∂∂3∂∂∂111[()][()]jiiiVVDp∂∂∂2∂′=−∇+μ−μ∇⋅+μ+VfeVe[()][()]iiijjipDtxxxxρρρμμμ∂3∂∂∂N-S——方程（1）对于的流体′（1）对于，的流体constμ=const′μ=111()()()jiiiVDVVpf∂∂∂2∂∂′=−+μ−μ∇⋅+μ+V()()()iiijjifDtxxxxxρρρ+μμ∇+μ+∂3∂∂∂∂V()()()22jjjiiiVVVVVV∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+=+()()()jjijjjijjijxxxxxxxxxxx+=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂()()2VV∂∂∇∇+∇∇+∇VV()()iiiiVVxx=∇⋅∇+∇⋅=∇+∇⋅∂∂VV1111()()2iiiDVVpfDtxxxxρρρ∂∂∂′=−+μ+μ∇⋅+μ∂3∂∂∂ViijjDtxxxxρρρ∂3∂∂∂1111DV1111()()2DpDtρρρ′=−∇+μ+μ∇∇⋅+μ∇3VfVV（2）对于的不可压缩流体，由于constμ=0∇⋅V=2∂112iiiijjDVVpfDtxxxρρ∂∂=−+μ∂∂∂112D∇∇VfV112DpDtρρ=−∇+μ∇VfV三.能量方程能量方程11()(P)2DVeq+=+∇+∇+fVVq()(P)2ReqDtλρρ+=⋅+∇⋅⋅+∇⋅+fVVq(P)()()VV∂∂∇V(P)()()iijijjjiiijjiipVpVxx∇⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂Veeeeee[()]()pVpV∂∂ee[()]()iiijjijjiipVpVxx=⋅=∂∂eeTTλλ∂∇iiTxλλλ=∇=∂qe112DVT∂∂∂11()()()2ijjRiiiDVTepVqDtxxxλρρ∂∂∂+=⋅+++∂∂∂fV1ijipDVVfVV∂1ijiiiiijpDVVfVVDtxρ=+∂1()2ijijpDVVDt2xρ∂=⋅+∂fVjρ111()()ijpDeTpVVqλ∂∂∂∂=−++()()ijjiRijiipVVqDtxxxxλρρρ=++∂∂∂∂pV∂∂∂()ijjijjjijiiipVpVVpxxx∂∂∂=+∂∂∂ijjiijjiipppVVVxxx∂∂∂==∂∂∂ijjxxx∂∂∂11()()jjjiiiijjiijjiijijijijijijVVVVVVppppppxxxxxxε∂∂∂∂∂∂==+=+=∂∂2∂∂2∂∂ijijijxxxxxx∂∂2∂∂2∂∂()ijijjiijijppVVpxxε∂∂=+∂∂iixx∂∂11()ijijRDeTpqDtxxελρρ∂∂=++∂∂jjiiDtxxρρ∂∂1()jiiVVVδεδ∂∂∂=+==∇⋅Vijij()ijijixxxδεδ=+==∇2∂∂∂V211()()Dep2′=−∇⋅+μ−μ∇⋅VV()()21()pDtTρρλ=∇⋅+μμ∇⋅3∂∂+++VV()ijijRiiqxxεελρρ+μ++∂∂1()DepTλ∂∂∇+Φ++V()RiipqDtxxλρρ=−∇⋅+Φ++∂∂V212()()ijijεερρ2′Φ=μ−μ∇⋅+μ3Vρρ3为单位质量流体在单位时间内由于粘性摩擦而耗Φ散的机械能，耗散函数，为正。1ppDDρ21()ppDDpDtDtρρρρ−∇⋅=−V=11()()RDeDTpqDtDtxxλρρ∂∂=−+Φ++∂∂iiDtDtxxρρ∂∂11()()TDeDλ∂∂++Φ()()RiiqpxxDtDtλρρ+=+−Φ∂∂iepρ=+11()DiDeDpDpDtDtDtDtρρ=++ρρ11()DiDpTλ∂∂Φ11()RiiDiDpTqDtDtxxλρρ∂∂=+Φ++∂∂0Rq=四、关于粘性流体动力学方程组的封闭性pRTρf=g=vecT=重力场中完全气体在无辐射条件下的封闭方程组：D+=0Dtρρ∇⋅V1123iiiiDVpgDtxxμρρ∂∂′=−+−∂∂()12ijjxμμερ⎡⎤∂⎛⎞∇+⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦iV1iiDepTDtxxΦλρρ⎛⎞∂∂=−∇⎜⎟∂∂⎝⎠iV++ii⎝⎠pRTecTc=constρ==()21223vvijijecTcconst=+Φμμμεερρ=⎛⎞′−∇⎜⎟⎝⎠iV312jiijVVxxρρε⎝⎠⎛⎞∂∂=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠()()2jixxp,Tp,Tμμμμ⎜⎟∂∂⎝⎠′′==()p,Tλλ=0const=constμρ=∇对于的不可压缩流体，V012iiijDVpgDtxxμερρ∇∂∂=−+∂∂iV=2iivijijDtxxDTTcDtxxρρμλεερρ∂∂∂∂=+∂∂iiDtxxρρ∂∂直角坐标系中0uvwxyz∂∂∂++=∂∂∂连续性方程：xyz∂∂∂N-S方程：2222221()xuuuupuuuuvwgtxyzxxyzμρρ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−+++∂∂∂∂∂∂∂∂2221vvvvpvvvμ∂∂∂∂∂∂∂∂2221()yvvvvpvvvuvwgtxyzyxyzμρρ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−+++∂∂∂∂∂∂∂∂2222221()zμρρ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−+++∂∂∂∂∂∂∂∂yyρρ在柱坐标中的形式10rzrVVVVrrzrεε∂∂∂+++=∂∂∂rrzrε∂∂∂2222V12()rrrrrrzrrVVVVVVpVVVgVεεεμ∂∂∂∂∂∂+++−=−+∇−−∂∂∂∂∂∂22()rzrrgtrrzrrrrερρε∂∂∂∂∂∂212V()rzrVVVVVVVVpVVgVεεεεεεμ∂∂∂∂∂∂++++=+∇+22()rzVVgVtrrzrrrrεεερερε++++=−+∇−+∂∂∂∂∂∂21VVVVVpμ∂∂∂∂∂21zzzzrzzzVVVVVpVVgVtrrzzεμερρ∂∂∂∂∂+++=−+∇∂∂∂∂∂222∂∂∂∂2222222211rrzrrε∂∂∂∂∇=+++∂∂∂∂§6-4粘性流体的粘性流体的边界条件流体边的过关系一、流体边界面两侧的过渡关系（一）两种物质的接触关系（）两种物质的接触关系（二）边界面上分子输运特性（三）边界面两侧的应力过渡关系二边界条件二、边界条件粘性流体动力学下列四种类型的边界条件：（一）流体在物面上的运动学条件()bbV=V为物面速度。法向速度相等，切向速度连续。）流体在物面上的热力学条件bbV（二）流体在物面上的热力学条件()bT=T()bbbbTTTqλλ∂∂⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠T（三）流体在自由面上的运动学条件bbbbqnn⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠（三）流体在自由面上的运动学条件（四）流体在自由面上的动力学条件§6-5不可压缩粘性流动的基本特性流动的有旋性、涡量的扩散性和能量的耗散性是粘性流体运动的重要特