同济大学自动控制原理复习课

同济大学电子与信息工程学院2010.9•自动控制理论的基本问题§控制系统的分析l典型信号下的响应(阶跃响应,频率特性)l数学模型(动态微分方程，传递函数,信号流图)l性能指标(上升时间,,峰值时间,超调量,稳态误差,谐振峰值,带宽,剪切频率,相位穿越频率,幅值裕度,相位裕度…)§控制系统的设计l性能要求（稳、准、快）l控制器的结构和参数设计和整定l性能校核(计算,仿真,实验)•系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。•控制系统数学模型的表达方式有微分方程、传递函数、方框图、信号流图等。nnnmmmnmasasbsbsbpspspszszszsksRsYsG......))...()(())...()(()()()(111102121系统的数学模型结构框图的变换法则•1．串联变换法则•2．并联变换法则•3．反馈连接变换法则•4.引出点和比较点的移动法则信号流图及MASON增益公式nkkkPsRsYsG1)()()(...1kjijiiLLLLLLPk:从输入到输出的第k条前向路径的增益；Δ：特征值；Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分，也称为余子式；Σli:所有各回路的“回路传递函数”之和；ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路增益”乘积之和；ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回路增益”乘积之和。典型环节及其传递函数为延迟时间。式中纯延迟环节：振荡。储能环节，其输出出现，特点：环节中有两个振荡环节：出具有记忆功能。特点：当输入结束，输积分环节：输入信号的变化趋势。，特点：输出能够预示二阶微分环节：一阶微分环节：理想微分环节：微分环节无振荡。入不能立即复现，输出含储能环节，对突变输惯性环节例，无失真和延迟，特点：输入输出成比比例环节,)(),()(.621)(.5,1)(.412)(1)()(....3,11)(.2)(.12222snnesGtrtcsssGssGsssGssGKssGTssGKsG比例环阶的单位阶响应跃比例环节结构框图反馈控制系统特性控制系统的稳态误差•一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。（1）误差：误差的评价可以有两种定义方法。一种从输入端定义：)(1)()(1)()()(1)()()()(1)(sGsRsEsHsHsGsRsBsRsEsH偏差单位反馈偏差另一种从输出端定义。要求题解。应根据题意确定之，按，如其它定义实际应用中，误差还有的。，两种定义方法是一致对于单位反馈系统，显然，实希))()()(()()(')()(1)(')()(1)()(1)()(1)()()()()()(')()()('1)(sCsRsEsEsEsEsHsEsHsGsRsHsHsGsRsGsHsRsCsRsCsCsEsH)()(1)(lim)(lim)(lim)()(00sHsGssRssEteeetetetsstssss即定义为稳态误差，稳态分量的的极限存在，则误差趋于无穷时，如果当时间（2）稳态误差：二阶系统的单位阶跃响应10,1,cos,1)sin(11)()(2)(212222并且其中：反变换得到系统输出：做跃函数，得：如果系统输入为单位阶nndntnnntetyLaplacesRsssYn反馈控制系统的性能欠阻尼二阶系统的性能指标•二阶系统的性能指标包括上升时间、峰值时间、调整时间、超调量和稳态误差等。％误差带）取％误差带）取＝2(,45(,3%100..1121/22nnsdnpndrTeOPTTassavssvpsspsstssKReKReKResHsGssRssEtee1)()(1)(lim)(lim)(lim00)()(lim)()(lim)()(lim2000sHsGsKsHssGKsHsGKsasvsp增加零极点对二阶系统输出的影响结论1、极点起惯性延缓作用，离虚轴越近影响越大；2、零点起微分加快作用，可抵消最近极点作用；3、左极点稳定，右极点发散；4、复极点振荡，实极点不振荡。线性反馈系统的稳定性•Routh-Hurwitz稳定判据•根轨迹法•Nyquist稳定性判据Routh-Hurwitz稳定判据由于三阶或以上代数方程求解困难；该方法不需要代数求解。•将系统的特征方程展开；•根据方程系数排Routh表；•则系统稳定的充分必要条件是：特征方程的全部系数同号，并且没有零系数，Routh表第一列的全部元素全部为正。3131115131331211321115315315314203210111111........................0...)(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbaabcaaaaabaaaaaaaaaabhcccbbbaaaaaasssssRouthasasasas其中：表为：系统特征方程：1111,...,,,,nnnnnhcbaa,3,2,1,0)12(180360)()(1)()(kkksHsGsHsG条件和相角条件：因此得到根轨迹的幅值根轨迹的概念0)()(1)()()()()(1)()(0)()(1)()()(1)()()()(:11sHsGspszsKsHsGsHsGsHsGssHsGsGsRsYsTnjjmii于是有闭环特征方程：表达为：而系统开环传递函数可系统闭环特征方程：系统的闭环传递函数)12(()(11)()()11kpszsKKpszsjinjjmii0)()(0)()(111miinjjzsKpssHsG或即（即根轨迹方程）•基于根轨迹的控制系统分析1.增加开环零极点时对根轨迹及系统稳定性的影响增加开环极点将多一条发散轨迹该轨迹对原有轨迹产生排斥作用,使系统稳定性变差;增加开环零点将少一条发散轨迹，该轨迹对原有轨迹产生吸引作用,使系统稳定性变好。2.移动开环零极点时对根轨迹及系统稳定性的影响根轨迹会发生显著变化;)()(),()(,sin)()()()(22jTjTjTsAsRtAtrsRsTsY相频特性是，幅频特性是：则系统的频率特性就是，输入为考虑系统频率响应法•系统的频率响应的定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应。在这种情况下，系统的输入信号是正弦信号，系统的内部信号以及系统的输出信号也都是稳态的正弦信号，这些信号频率相同，幅值和相角各有不同。频率响应图•频率特性的基本内容：极坐标图（Nyquist图）；对数频率特性图（Bode图）；对数幅值相位图（Nichols图）。Nyquist图作图规则：90)0(jG]/[0)(90)()(11minjjiKjGmnmnjGmn趋近于以时，时，1.根据频率响应的实部和虚部分别描画，或者根据频率响应函数的幅值与相角进行描画。2.在ω趋于0的曲线见下左图，ω趋于无穷的曲线见下右图。3.通过令Re[G(jω)H(jω)]=0和Im[G(jω)H(jω)]=0，可分别求出G(jω)H(jω)与实轴和虚轴的交点。4.当G(s)H(s)不包含微分因子时，G(jω)H(jω)的奈氏曲线是一个幅值逐渐衰减，相位也逐渐衰减的光滑曲线。Nyquist图(极坐标图)作图规则90)0(jG]/[0)(90)()(11minjjiKjGmnmnjGmn趋近于以时，时，1.根据频率响应的实部和虚部分别描画，或者根据频率响应函数的幅值与相角进行描画。2.在ω趋于0的曲线见下左图，ω趋于无穷的曲线见下右图。3.通过令Re[G(jω)H(jω)]=0和Im[G(jω)H(jω)]=0，可分别求出G(jω)H(jω)与实轴和虚轴的交点。4.当G(s)H(s)不包含微分因子时，G(jω)H(jω)的奈氏曲线是一个幅值逐渐衰减，相位也逐渐衰减的光滑曲线。Nyquist图作图规则•1.将开环传递函数G(s)H(s)化成标准形式;•2.求出•3.求出各基本因子的转角频率•4.幅频特性图：过与的交点，作一斜率为的直线，然后从最低频到最高频，通过简单零点角频率则把斜率增加20dB/dec；通过一个简单极点角频率斜率增加-20dB/dec；通过一个二阶振荡因子角频率，直线斜率增加-40dB/dec。这样就得到近似的幅频特性图。在各个折线附近进行修正就可以比较准确的幅频特性图。•5.相频特性：先画出各个基本因子的相频特性图，然后把各个基本因子的相频特性曲线相连，，就得到开环传递函数G(s)H(s)的相频特性图。•注：幅频特性曲线的每个折线段要标明斜率**dB/dec!Klog20KLlog20)(1)/(20decdBBode图作图规则T/1)(分母因式相角和）分子因式相角和，::(Nyquist稳定性判据•假如s在s平面沿Nyquist路径绕一圈，ΓF绕原点的圈数则为F(s)在s右半平面内的零点与极点个数之差，即有：N=Z–P式中：Z——F(s)在s右半平面内的零点个数，即系统在s右半平面的闭环极点数目；P——F(s)在s右半平面内的极点个数，即开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面上的极点数目；N——ΓF绕原点的圈数。(一)F(s)平面上的Nyquist判据F(s)平面上Nyquist稳定性判据：当Z=0时，系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。•GH平面与F平面•由于往往已知的是G(s)H(s)，直接绘制而得的是G(s)H(s)的轨线G(jω)H(jω)，所以我们希望直接利用G(s)H(s)平面的轨线来判断系统的稳定性。(二)G(s)H(s)平面与Nyquist判据)()(1)()()()()()()()()(1)()(1)(sHsGsGSRSYsTsDsNsDsDsNsHsGsF结论：s沿闭合曲线Γ运动一周所产生的两条闭合曲线ΓF和ΓGH只差常数1，即闭合曲线ΓF可由ΓGH沿实轴正方向平移一个单位长度获得。闭合曲线ΓF包围F(s)平面原点的圈数等于闭合曲线ΓGH包围F(s)平面（-1，0）点的圈数。•G(s)H(s)平面上的Nyquist稳定性判据：(1)当开环传递函数G(s)H(s)在s右平面内没有极点时，闭环反馈系统稳定的充要条件是：G(s)H(s)平面上的映射围线ΓGH不包围(-1，0)点。(此时，P=0，N=0，则Z=N+P=0，则系统稳定。)(2)如果开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面上有极点，则闭环反馈系统稳定的充要条件是：G(s)H(s)在s平面上的映射围线ΓGH沿逆时针方向包围(-1，0)点的周数等于G(s)H(s)在s右半平面内极点的个数。(因为只有Z=N+P=0时系统稳定，故有N=-P时系统稳定。)应用Nyquist稳定性判据的一般步骤：；）的次数，计算奈氏曲线包围（N01-.2的一段。：上再以实轴对称的方法添的一段，：的奈氏图，可先绘制绘制-0-0)()(.1jHjG右半平面的极点数；确定由给定的ssHsG)()(.3时，系统稳定。当计算0,.4ZPNZ两个概念•ωc—剪切频率，截止频率，增益穿越频率。奈氏图中与单位圆|GΗ|=1的交点；伯德图中与L(ω)=0的交点。•ωg—相位穿越频率