第五章练习题及参考解答(第四版)

第五章练习题参考解答5.1设消费函数为iiiiuXXY33221式中，iY为消费支出；iX2为个人可支配收入；iX3为个人的流动资产；iu为随机误差项，并且222)(,0)(iiiXuVaruE（其中2为常数）。试回答以下问题：(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。【练习题5.1参考解答】（1）设f(X2𝑖)=𝑋2𝑖2，则异方差Var(𝜇𝑖)=𝜎2𝑋2𝑖2=𝜎2f(X2𝑖)，回归方程两端同时除以√f(X2𝑖)得：𝑌𝑖√f(X2𝑖)=𝛽1√f(X2𝑖)=𝛽2𝑋2𝑖√f(X2𝑖)+𝛽3𝑋3𝑖√f(X2𝑖)+𝜇𝑖√f(X2𝑖)令Y𝑖∗=𝑌𝑖√f(X2𝑖)X2𝑖∗=1√f(X2𝑖)X3𝑖∗=𝑋3𝑖√f(X2𝑖)υ𝑖=𝜇𝑖√f(X2𝑖)则上式变为：Y𝑖∗=𝛽2+𝛽1X2𝑖∗+𝛽3X3𝑖∗+υ𝑖因此Var(υ𝑖)=𝜎2𝑋2𝑖2f(X2𝑖)=𝜎2通过变换原模型的异方差得到修正。（2）令w𝑖=1f(X2𝑖)则修正后的残差平方和∑𝑤𝑖𝑒𝑖2=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂2𝑋2𝑖−𝛽̂3𝑋3𝑖)2方程两边求导并令导数为零，可得参数估计量的表达式如下：𝛽̂1=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂2𝑋2𝑖−𝛽̂3𝑋3𝑖)∑𝑤𝑖𝛽̂2=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂3𝑋3𝑖)𝑋2𝑖∑𝑤𝑖𝑋2𝑖2𝛽̂3=∑𝑤𝑖(𝑌𝑖−𝛽̂1−𝛽̂3𝑋3𝑖)𝑋3𝑖∑𝑤𝑖𝑋3𝑖25.2对于第三章练习题3.3家庭书刊消费与家庭收入及户主受教育年数关系的分析，进一步作以下分析:1）判断模型123iiiiYXTu是否存在异方差性。2。如果模型存在异方差性，应怎样去估计其参数？3）对比分析的结果，你对第三章练习题3.3的结论有什么评价?【练习题5.2参考解答】（1）作回归123iiiiYXTu，:用White法检验异方差性从上表以看出，n𝑅2=12.0569，由White检验知，在α=0.05下，查𝜒2分布表,得临界值𝜒0.052(2)=5.9915，同时2X的t检验值也显著。比较计算的𝜒2统计量与临界值，因为n𝑅2=12.0569𝜒0.052(1)=5.9915，所以拒绝原假设，不拒绝备择假设，表明模型存在异方差。（2）由（1）知，模型存在异方差，应该选择加权最小二乘法来估计其参数，从White检验的辅助回归看，T^2与T∗X对残差平方影响较为显著，因此，我们选择w=1/(T2−T∗X)作为权重来估计参数，具体结果如下：（3）比较第三章结果，我们发现家庭收入对家庭书刊消费的影响提高，受教育程度对家庭书刊消费的影响降低，异方差的修正可以让我们看到更真实的结论。5.3为了研究中国出口商品总额EXPORT对国内生产总值GDP的影响，搜集了1990～2015年相关的指标数据，如表5.3所示。表3中国出口商品总额与国内生产总值（单位：亿元）时间出口商品总额EXPORT国内生产总值GDP时间出口商品总额EXPORT国内生产总值GDP19913827.122005.6200449103.3161840.219924676.327194.5200562648.1187318.919935284.835673.2200677597.2219438.5199410421.848637.5200793627.1270232.3199512451.861339.92008100394.9319515.5199612576.471813.6200982029.7349081.4199715160.779715.02010107022.8413030.3199815223.685195.52011123240.6489300.6199916159.890564.42012129359.3540367.4200020634.4100280.12013137131.4595244.4200122024.4110863.12014143883.7643974.0200226947.9121717.42015141166.8685505.8200336287.9137422.0资料来源：《国家统计局网站》(1)根据以上数据，建立适当线性回归模型。(2)试分别用White检验法与ARCH检验法检验模型是否存在异方差？(3)如果存在异方差，用适当方法加以修正。【练习题5.4参考解答】(1)从图5.4我们可以看出中国出口商品总额EXPORT与国内生产总值GDP呈线性关系，我们应当建立线性回归模型，回归估计结果如图5.5所示。则回归方程如下𝑌̂𝑖=−673.08+4.0611𝑋t=(-0.0437)(20.136)𝑅2=0.946𝐷𝑊=0.3660100,000200,000300,000400,000500,000600,000700,000020,00060,000100,000140,000XY图5.4中国出口商品总额EXPORT与国内生产总值GDP散点图图5.5回归结果(2)检验异方差性图5.6White检验结果从图5.6可以看出，n𝑅2=7.250，由White检验知，在α=0.05下，查𝜒2分布表,得临界值𝜒0.052(2)=5.9915，n𝑅2=7.250𝜒0.052(2)=5.9915，所以拒绝原假设，表明模型存在异方差。图5.7ARCH检验结果从图5.7可以看出，ARCH检验的n𝑅2=11.028，在α=0.05下，查𝜒2分布表,得临界值𝜒0.052(1)=3.84146，n𝑅2=11.028𝜒0.052(1)=3.846，所以拒绝原假设，表明模型存在异方差。综上所述，在5%显著性水平下，White检验与ARCH检验均显示模型存在异方差。（3）选1/X^2作为权重，使用加权最小二乘法对模型进行修正，结果如图5.8所示图5.8加权最小二乘估计结果修正模型后用White检验，发现模型已无异方差，如图5.9所示。图5.9White异方差检验5.4表5.4的数据是2011年各地区建筑业总产值（X）和建筑业企业利润总额（Y）。表5.4各地区建筑业总产值（X）和建筑业企业利润总额（Y）(单位：亿元)地区建筑业总产值X建筑业企业利润总额Y地区建筑业总产值X建筑业企业利润总额Y北京6046.22216.78湖北5586.45231.46天津2986.4579.54湖南3915.02124.77河北3972.66127.00广东5774.01251.69山西2324.9149.22广西1553.0726.24内蒙古1394.68105.37海南255.476.44辽宁6217.52224.31重庆3328.83155.34吉林1626.6589.03四川5256.65177.19黑龙江2029.1658.92贵州824.7214.39上海4586.2.8166.69云南1868.4061.88江苏15122.85595.87西藏124.475.75浙江14907.42411.57陕西3216.63104.38安徽3597.26127.12甘肃925.8429.33福建3692.62126.47青海319.428.35江西2095.4762.37宁夏427.9211.25山东6482.90291.77新疆1320.3727.60河南5279.36200.09数据来源：国家统计局网站根据样本资料建立回归模型，分析建筑业企业利润总额与建筑业总产值的关系，并判断模型是否存在异方差，如果有异方差，选用最简单的方法加以修正。【练习题5.4参考解答】假定建筑业企业利润总额和建筑业总产值满足线性约束，则理论模型设定为𝑌𝑖=𝛽1+𝛽2𝑋𝑖+𝜇𝑖式中，𝑌𝑖表示建筑业企业利润总额；𝑋𝑖表示建筑业总产值，模型估计结果如下：图5.10回归结果用White检验来判断模型是否存在异方差，结果如下：图5.11White检验结果从图5.11可以看出，n𝑅2=18.461，由White检验知，在α=0.05下，查𝜒2分布表,得临界值𝜒0.052(1)=3.84146，同时2X的t检验值也显著。比较计算的𝜒2统计量与临界值，因为n𝑅2=18.461𝜒0.052(1)=3.84146，所以拒绝原假设，表明模型存在异方差。在White检验结果的辅助回归中也明显看出解释变量的二次项对残差平方均有解释能力，因此我们选择权重w=1/x^2，采用加权最小二乘法修正，结果如下：图5.12加权最小二乘回归结果运用加权最小二乘法消除了异方差性后，参数的t检验均显著，F检验也显著。经White检验发现，检验的P值为0.7054，说明已经无异方差。即估计结果为𝑌̂𝑖=3.594291+0.033404𝑋𝑖t=(3.8501)(18.75828)𝑅2=0.923,DW=1.8179,F=223.08这说明建筑业总产值增加1亿元，平均说来建筑业企业利润总额将增加0.033404亿元，而不是引子中得出的需要增加0.033698亿元5.5表5.5是2015年中国各地区人均可支配收入（X）与居民每百户汽车拥有量（Y）的数据。表5.5中国各地区人均可支配收入X与居民每百户汽车拥有量时间人均可支配收入（元）X居民每百户汽车拥有量（辆）Y时间人均可支配收入（元）X居民每百户汽车拥有量（辆）Y北京48458.045.0湖北20025.612.9天津31291.437.7湖南19317.516.4河北18118.130.4广东27858.924.6山西17853.720.7广西16873.418.0内蒙古22310.128.5海南18979.015.5辽宁24575.618.1重庆20110.115.4吉林18683.719.3四川17221.015.3黑龙江18592.710.7贵州13696.615.0上海49867.224.3云南15222.624.2江苏29538.931.3西藏12254.321.5浙江35537.139.8陕西17395.015.8安徽18362.614.8甘肃13466.613.7福建25404.422.3青海15812.724.3江西18437.116.7宁夏17329.125.2山东22703.237.8新疆16859.119.9河南17124.817.4(1)试根据上述数据建立各地区人均可支配收入与各地区居民每百户汽车拥有量的线性回归模型。(2)选用适当方法检验模型是否存在异方差，并说明存在异方差的理由。(3)如果存在异方差，用适当方法修正。【练习题5.5参考解答】(1)建立各地区人均可支配收入与各地区居民每百户汽车拥有量的线性回归模型如下：𝑌𝑖=𝛽1+𝛽2𝑋𝑖+𝜇𝑖估计结果如图5.13所示图5.13回归结果(2)异方差检验图5.14White检验结果从图5.14可以看出，n𝑅2=7.732，在α=0.05下，查𝜒2分布表,得临界值𝜒0.052(2)=5.9915，n𝑅2=7.732𝜒0.052(2)=5.9915，所以拒绝原假设，表明模型存在异方差。异方差可能是由于不同省份的经济差异和消费者汽车的消费偏好差异较大引起。(3)X和Y都取对数后，建立回归模型并检验异方差图5.15White检验结果从图5.15可以看出，对模型作对数变化后，由White检验知，n𝑅2=0.236，在α=0.05下，查𝜒2分布表,得临界值𝜒0.052(2)=5.9915，n𝑅2=0.236𝜒0.052(2)=5.9915，所以不拒绝原假设，表明模型不存在异方差。5.6表5.6为1978年—2015年四川省农村人均纯收入、人均生活费支出、商品零售价格指数的数据。表5.6四川省农村人均纯收入、人均生活费支出、商品零售价格指数时