任意角的三角函数-弧度制-同角三角函数的基本关系专题复习讲义【强烈推荐】!

1三角函数的概念关键词：角的定义三角函数的定义弧度制同角三角函数的关系☆对“角”的认识：1.角的概念角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。注：我们一般约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边。我们规定：（1）逆时针旋转得到的角是正角。（2）顺时针旋转得到的角角负角。（3）一条射线没有作任何旋转，就把它叫做零角。做一做①：与300终边相同的角有________个，请写出四个与300终边相同的角（要求两个正角，两个负角）_____,_____,______,______。理解角的概念应注意：（1）注意分清正角和负角；（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是),(（3）角具有周期性：终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600的整数倍。2.终边相同的角的表示：启问：与300终边相同的角如何用一个式子表示？解答：把与300终边相同的所有角看成一个集合，这个集合可表示为：Zkk,3603000于是我们有：与任意角终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：Zkk,3600例如：与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；536）3.弧度制（1）定义：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做1弧度。1弧度记作1rad；1弧度(1rad)57.3.（2）弧度制与角度制之间的转化，记住核心关系：0180弧度制相比角度制的优点在于：①公式的表达更简洁；②可以省略单位不写，与实数集建立了一一对应关系，可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统一。常用角的互化：角度00300450弧度323243652起始边终边2☆弧长公式：||lR，扇形面积公式：211||22SlRR例如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm）例：（1）已知扇形的周长为20cm，面积为9cm2,求扇形圆心角的弧度数；（2）若扇形的圆心角为750，半径为15cm，求扇形的面积；（3）若扇形的周长为60cm,那么当它的圆心角为多少时，扇形的面积最大？☆角与角的位置关系的判断（1）终边相同的角（2）对称关系的角（3）满足一些常见关系式的两角例如：若是第二象限角，则2是第_____象限角：一、三）（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)()kkZ.（2）终边与终边关于x轴对称2()kkZ.（3）终边与终边关于y轴对称2()kkZ.（4）终边与终边关于原点对称2()kkZ.（5）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.例如：的终边与6的终边关于直线xy对称，则＝____________。（答：Zkk,32）☆三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。但既有联系，又有区别。定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0x，csc0ryy。三角函数值只与终边的位置有关，而与终边上点P的位置无关。例如：（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则cossin的值为＿＿。★☆◎●■✪☞◑▣◈✿（答：713）；3（2）设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是_______（答：（－1，)23）；（3）若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）7.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）商数关系：sincostan,cotcossin做一做：（1）已知31sin，求tan,cos的值；（2）已知21cos，且在第三象限，求tan,sin的值；（3）已知2tan，且在第二象限，求cos,sin的值。8.特殊角的三角函数值：30°45°60°sin2122costan课堂练习：（1）若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是____（答：[0,]4],43[）；（2）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan＝____（答：125）；（3）已知11tantan，则cossincos3sin＝___；2cossinsin2＝____（答：35；513）；（4）已知a200sin，则160tan等于规律：①同角的正弦和余弦成平方关系；②若与互余，则一个角的余弦等于另一个角的正弦，一个角的正弦等于另一个角的余弦；☞同角三角函数的基本关系式的主要作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。4A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（答：B）；课堂练习：1.设分别是第二、三、四象限角，则点)cos,(sinP分别在第___、___、___象限.2.已知)1,2(,cossinmmmxx且，求xxcossin3．若角α的终边在直线y＝－x上，则coscos1sin1sin22＝.4．使tanx－xsin1有意义的x的集合为.5．已知α是第二象限的角，且cosα2＝－45，则α2是第象限的角.任意角的三角函数练习题一、选择题1.设角属于第二象限，且2cos2cos，则2角属于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.给出下列各函数值：①)1000sin(0；②)2200cos(0；③)10tan(；④917tancos107sin.其中符号为负的有（）A.①B.②C.③D.④3.02120sin等于（）A.23B.23C.23D.214.已知4sin5，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）5A.43B.34C.43D.345．若θ∈（5π4，3π2），则1－2sinθcosθ等于A.cosθ－sinθB.sinθ＋cosθC.sinθ－cosθD.－cosθ－sinθ6．若tanθ＝13，则cos2θ＋sinθcosθ的值是A.－65B.－45C.45D.65三、解答题1.已知1tantan，是关于x的方程2230xkxk的两个实根，且273，求sincos的值.2.设cosθ＝m－nm＋n（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.3．证明(1)1＋2sinθcosθcos2θ－sin2θ＝1＋tanθ1－tanθ(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ《任意角的三角函数练习题》参考答案6一、选择题1.C22,(),,(),2422kkkZkkkZ当2,()knnZ时，2在第一象限；当21,()knnZ时，2在第三象限；而coscoscos0222，2在第三象限；2.C00sin(1000)sin800；000cos(2200)cos(40)cos400tan(10)tan(310)0；77sincossin7171010,sin0,tan01717109tantan993.B2003sin120sin12024.A43sin4sin,cos,tan55cos35.A6.D二、填空题1.四、三、二当是第二象限角时，sin0,cos0；当是第三象限角时，sin0,cos0；当是第四象限角时，sin0,cos0；2.②1717sin0,cos01818MPOM3．04．{x|x∈R且x≠2k，k∈Z}5．三三、解答题1.解：21tan31,2tankk，而273，则1tan2,tank得tan1，则2sincos2，cossin2.2.解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝m－nm＋n＞0∴θ是第一象限角或第四象限角.当θ是第一象限角时：sinθ＝222)()(1cos1nmnm＝mnnmnmnmnm2)()()(222tanθ＝mnnm2cossin当θ是第四象限角时：7sinθ＝－mnnm2cos12tanθ＝mnnm2cossin3.（1）证明：左＝)sin)(cossin(coscossin2cossin22＝)sin)(cossin(cos)cos(sin2＝sincossincos＝cossincoscossincos(∵cosθ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)＝1＋tanθ1－tanθ＝右，证毕.还可用其他证法.(2)证明：左＝22cossin－sin2θ＝2222coscossinsin＝222cos)cos1(sin＝222cossinsin＝tan2θsin2θ＝右，证毕.4.解：由sincos,xxm得212sincos,xxm即21sincos,2mxx（1）233313sincos(sincos)(1sincos)(1)22mmmxxxxxxm（2）24244222121sincos12sincos12()22mmmxxxx