三角函数值域的几种求法

蒙山中学(202全国1)15、当函数)20(cos3sinxxxy取最大值时，x(2013全国1)15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______(2014全国1)14、函数的xxysin2cos最大值为：(2016全国2)11、函数)2cos(62cos)(xxxf的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7主要公式回顾：2cosxbxacossin2sincossin2abxbatan)sin(22其中22sincos1cos222sin21专题学习三角函数的值域(最值)-----几种求法maxminmaxminsin1;cos1()sin()0()()0()()xxfxAxhAfxAhfxAhAfxAhfxAh我们知道正弦函数和余弦函数具有。即；于是我们可以将一些函数化为的形式。当时，当时，有界性题型一y=Asin(ωx＋φ)＋h型的最值问题例1(1)求f(x)＝3sinx，x∈[0，π]的值域．【解析】∵0≤x≤π，0≤sinx≤1,(2)设函数f(x)＝2asinxcosx＋5(0a)．并求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的值域．haxfhaxfahaxfhaxfaminmaxminmax)(,)(0)(,)(0时，当时，当0,3)(的值域为：xf解：函数可化为52sin)(xaxf口答下列函数的最大值和最小值。13sin2yx（）)32cos(232xy）（(1)2sinyx0)acos)4(（bxay[-2,2][1,5][0,]22当a0,[-a+b,a+b]当a0,[a+b,-a+b]例2(1)求f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域．题型二、二弦合一型y=cxbxacossin型的最值问题cxbasin22xxxfcos4sin3)(xxcos54sin535)sin(5x53cos54sin0φπ2，∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ，∴当x＋φ＝π2时，f(x)max＝5.当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4.∴f(x)的值域为[－4,5]解：=，其中例3(1)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．②因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.解:①因为f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－11)cos21sin23(cos4xxx1cos2cossin322xxxxx2cos2sin3)62sin(2x22T探究1化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．题型三：二次型，形如,或的值域qxpxysinsin2cxbxaycos2cosxxxxfcos4sin2cos223fxf例4、已知函数(1)求的值(2)的最大值和最小值khtay2解：f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R，(1)f(π3)=3(cosπ3－23)2－73=－94(2)因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝23时，f(x)取最小值－73.xxxxfcos4sin2cos22例4、已知函数(1)求的值(2)求的最大值和最小值3fxf的最大值。：求函数例xxxxycossincossin5,cossintxx解：设,21cossin2txx即：)22t（，则2cossin21txx1)1(212122ttty.2212maxyt时，所以，当题型四：和、差、积型，形如:xxkxxycossincossin探究2可化为y＝f(sinx)型三角函数的值域也可通过换元法转为其他函数的值域．题型五：分式型．形如y＝asinx＋bccosx＋d．(数形结合)(1)转化为Asinx＋Bcosx＝C型．(2)利用直线的斜率1212xxyyk求解．例6(1)求函数f(x)＝2cos2sinxx的值域．解：(1)函数f(x)＝1cos1sinxx1212xxyyk，可看作点(1,1)，(cosx，sinx)两点连线的斜率．点(cosx，sinx)的轨迹为x2＋y2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x2＋y2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k.∴切线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0.∴满足|2－2k|1＋k2＝1，2122kk，即：03832kk解之得k＝4±73.∴函数f(x)的值域为[4－73，4＋73]．探究3借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．巩固练习：1、函数xxxf2sin22sin)(的最大值为：2、函数1cossin2xxy的值域是：3、当67,6x时，函数xxy2sin2cos3的最小值是，最大值是：。4、函数1cos12siny的值域是：1241,287,14函数y＝sinxcosxtanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为y＝Asin(ωx＋φ)＋B型1.利用三角函数有界性3．利用－a2＋b2≤asinx＋bcosx≤a2＋b2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的定义域、图像、周期、单调性．5．y＝asinx＋bccosx＋d型．(1)转化为Asinx＋Bcosx＝C型．(2)利用直线的斜率求解．6．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．