正弦定理教学设计

1必修5《1.1.1正弦定理》教学设计教材地位分析本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学（5）》（人教A版）第一章第一节《正弦定理》。根据我所任教的学生情况，我将《正弦定理》划分为两个课时，这是第一课时。正弦定理在学习了三角函数与平面向量之后，可以启发学生联想所学知识，运用三角函数知识作为工具，运用转化与化归作为指导思想，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解三角形中存在边与角的定量关系的一个开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。而正弦定理本身的应用又十分广泛，在高考中的地位举足轻重，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学的思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时，通过本节课的学习为后面学习《余弦定理》提供了方法上的模式；为将来解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生进一步感受、了解到数学在实际中的应用。二、教学目标分析根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：认知目标：在创设的问题情境中，使学生主动地去发现正弦定理的内容和推证正弦定理及简单运用正弦定理能力目标：通过对正弦定理的引入、推导和应用，培养学生的创新意识和思维能力，能体会用“作高”将一般三角形转化为直角三角形；将几何问题转化为代数问题。情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，体验由特殊到一般的数学方法，培养学生在方程思想指导下解三角形运算能力。三．教学重点与难点教学重点：正弦定理的证明及简单应用教学难点：（1）正弦定理的证明（2）运用正弦定理解已知“两边及一对角”的三角形四．设计思想本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在我预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“发现、猜想、证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程。为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在数学概念公式的教学中，往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让学生脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，把“数学2发现的权利”还给学生。基于以上认识，本节课我所考虑的不是简单的把正弦定理的内容告诉给学生，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理，猜想、证明定理。从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激励了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念。五．教学过程（一）创设情境，引入新知你在A岸，对岸有一B点，你能不能把A、B间的距离测出来？师生共同探讨发现直接测测不了，只能寻求构造图形测另一些量再求出AB，你能想到构造一个什么图形来求出AB吗？（构造直角三角形，由直角三角形边角关系可求AB）若C处恰好就是一水塘，不能构造直角三角形了，还能求出AB吗?这就是我们这节课要学习的内容，探讨任意三角形中边与对角正弦值的关系——正弦定理。（二）师生互动，探索新知三角形分为锐角、直角和钝角三角形，我们不妨从最特殊的三角形进行探讨。当△ABC是直角三角形时，给学生3分钟时间，结合教材，自主思考，分组讨论。①在Rt△ABC中，你能想到的三角函数的式子有哪些？（主要找正弦的式子）学生容易想到三角函数：②因为③那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？这个等式说明了在直角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（课件给出证明）那么，此关系式能不能推广到任意三角形？可以猜想：在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即：（三）证明猜想，形成定理结论要推广到任意三角形还需要证明什么？只需要证明在锐角和钝角三角形中猜想成立。caAsincbBsin1sinCcCcBbAasinsinsinccC1sinCcBbAasinsinsinC0ABb﹚1CC0ABb﹚1C0ABb﹚1C0ABb﹚1C0ABb﹚1CCBAcab3要证等式成立，同学们可以从以下提示进行探究。①需要证明几个等式，可以怎么组合？（不妨先证明ab=sinsinAB）②刚才在直角三角形中已经证明了,那么能否把锐角、钝角三角形转化为直角三角形来求证？如何构造直角三角形？③需要找那些量的关系？这些量在哪些三角形里出现了？④在Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：在Rt△BCD中，CD=，在Rt△ACD中，CD=⑤如何证明？——作高线AE⊥BC，同理可证.（同时课件展示证明过程）。综上所述，在任意三角形△ABC中，都有，这就是三角形的正弦定理。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（学生复述一遍）数学语言：也可表示为：CABBACABCsinsinsin（四）剖析定理，加深理解（1）正弦定理反映的是边和对角的正弦的比的关系；（2）边和对角的的正弦的比相等，分子是边，分母是对角的正弦，结构对称；（3）公式实际上表示了三个等式，这就是BbAasinsin,CcAasinsin，CcBbsinsin；（4）任取一等式有四个量，两组边和对角，知道三个可求第四个。由（4）可以确定正弦定理可用于两类三角形问题的求解：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；②已知两角和一角对边，求另一角的对边。（五）实际应用，掌握新知下面我们就应用正弦定理求边或角。例1.在△ABC中，已知A=45°,C=30°，c=10,求a边。练习1：（1）在△ABC中，已知A=60°，B=45°，a=12，求b边.（2）在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=32，求b边.DEEBACabBACabEABCDcba﹚1EABCDcba﹚1ABCDcba﹚1sinsinsinabcABCsinsinsinabcABCsinsinsinabcABCAbBasinsinBbAasinsinCcBbsinsinBasinAbsin4例2：在△ABC中，已知a=16，b=316，A=30°，求角B.练习2：（1)在△ABC中，已知b=13，a=26，B=30°，求角A.（2）在△ABC中，已知AC=40，AB=20，C=45°，求角B.（六）变式探究，强化新知(1)（13北京文）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=31,则sinB=.(2)(12广东文)在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=23，则AC=.（3）（12北京文）在△ABC中，若a=3，b=3，A=3，则B=。（七）课堂小结（1）正弦定理，它是解三角形的工具之一。（2）应用正弦定理的条件：①已知两角和一角对边，求另一角的对边。②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；（3）三角形中常用公式：A+B+C=180°（八）作业布置1.必做：（1）当ABC是钝角三角形时，探究正弦定理的证明；（2）优化设计p2即时巩固。2．选做：探究正弦定理的其他证明方法。（九）板书设计课题1.正弦定理2.应用正弦定理的条件练习1练习2CcBbAasinsinsin