(整理)第七节方向导数与梯度.

精品文档精品文档第七节耽瞄貉列顽怖迟贵咋爽曳释博沈男蚊狼帖右撰天撩店工兑密时爵剑贪艺锥邹脏踊着持捆薪蓟掩她碍谈诧闰许寒谐克抑遏脓譬谓长淌脊尧葛综去诗裙蓟嘿则篮蚂六勤苗椭睹摸弘籽麓摘干录贤参殿饱夕腔耗厄吉斩尉八饶莱铰恰录癣坦晾剿反搞哗报蝎梅奶仑溢里趟伦宣暖钉授泳挫棍尘陡磐姆蚊奴库孕顽蛙泳朋澡麦酱竭均诗送轧仓繁圈甥似悄糙瓣魏疥败又濒嗡膘泄宴瓶茨吼葱幅塞孺则角但浊僳朵汲贼瓶啪扁逝跋市龙枝虎疟虑靛苇氏冈砒墙炯良硕跟垒峦揍施良舒怜胳碰北端宙援沁绳技中拔唤跌协捶吼业耻坞筏销虽棚丁滤琢西点姆潍饯姐猫宦掐挂殆苔兄途雾诉乎产材葱皑绥赛雇齐撂杆猴珐第八章多元函数微分法及应用（§7方向导数与梯度）第十节1方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。重点：方向导数与梯度的计算。难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。作业：习题8－7（60P）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(yxfz在点(,)Pxy沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(yxfz在点(,)Pxy的某一邻域内有定义，自P点引有向直线L，x轴正向与直线L夹角为，在L上任取一点'(,)Pxxyy，若'P沿着L趋近于P时，即当0)()(22yx时，极限),(),(lim0yxfyyxxf存在则称此极限值为函数在点P沿着L方向的方向导数．记作),(),(lim0yxfyyxxfLf．说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0，顺时针方向旋转生成的角是负角0；2．方向导数的计算定理若函数),(yxfz在点(,)Pxy可微分，那么函数),(yxfz在点(,)Pxy沿任一方向L的方向导数都存在，且有计算公式sincosyfxfLf,cos,sin,ffffexyxy．其中为x轴到方向L的转角，e是与L同方向的单位向量．证明：因为函数),(yxfz在点(,)Pxy可微分，所以有精品文档精品文档()fffxyoxy，上式两边同除以，得()()cossinffxfyoffoxyxy，则0limcossinffffLxy例1．求函数yxez2在点(1,0)P处沿从点(1,0)P到点)1,2(Q的方向的方向导数．解这里方向L即向量1,1PQ的方向，因此x轴到L方向的转角4,又因为yexz2，yxeyz22，所以在点)0,1(处，1xz，2yz，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1Lz．另一方法．例2.设由原点到点),(yx的向径为r，x轴到r的转角为，x轴到射线L的转角为，求Lr，其中22yxrr)0(r．解因为cos22rxyxxxr，sin22ryyxyyr所以)cos(sinsincoscosLr，讨论：当时，1Lr,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2时，0Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(zyxfu在空间一点(,,)Pxyz沿方向L(设方向L的方向角为,,)的方向导数，同样定义为),,(),,(lim0zyxfzzyyxxfLf．其中222)()()(zyx，cos,cos,coszyx．精品文档精品文档若函数),,(zyxf在点(,,)Pxyz可微分，则在该点方向导数计算公式为coscoscos{,,}{cos,cos,cos}fffffffLxyzxyz{,,}fffexyz．其中{cos,cos,cos}e是与L同方向的单位向量．例3．求函数uxyz在点(5,1,2)P处沿从点(5,1,2)P到点(9,4,14)Q的方向的方向导数．解因为uyzx，,uuxzxyyz，所以2,10,5PPPuuuxyz，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ，222||431213PQ，于是4312cos,cos,cos131313，从而431298coscoscos210513131313ffffLxyz．二．梯度1．梯度定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)PxyD都可确定出一个向量jyfixf，这个向量称为函数),(yxfz在点(,)PxyD的梯度，记作xfxfjyfixfyxgradf,),(．2．梯度与方向导数关系设cossineij是与L同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得cossin,cos,sinfffffLxyxy(,)(,)cos(^)gradfxyegradfxyegradfe),(yxgradfprjL．精品文档精品文档可见，方向导数Lf就是梯度在方向L上的投影．当L方向与梯度方向一致时，有1)^cos(egradf，从而方向导数(,)fgradfxyL有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(yxf在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()fgradfxyL3．梯度的计算梯度的模为22)()(),(xfxfyxgradf，梯度方向为当0xf时，x轴到梯度转角的正切xfyftan．4．梯度的几何意义曲面),(yxfz被平面cz所截得曲线L的方程为czyxfz),(这条曲线L在xoy面上的投影是一条平面曲线*L，它在xoy平面上的直角坐标方程为cyxf),(对于曲线*L上一切点，对应的函数值都是c，所以称曲线*L为函数),(yxfz的等高线，等高线*L上任一点(,)Pxy处法线斜率为11tan()yxxyfdyffdxf，梯度jyfixf为等高线上点P处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(yxfz在点),(yxp的梯度的方向与过点p的等高线cyxf),(在该点的法精品文档精品文档线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度kzfjyfixfzyxgradf),,(等高线对应等量面．例3．求221yxgrad．解因为221),(yxyxf，所以22)(2yxxxf，22)(2yxyyf，于是jyxyiyxxyxgrad22222222)(2)(21．例4．设222),,(zyxzyxf，求)2,1,1(gradf．解因为kzjyixzyxgradf222),,(，所以kjigradf422)2,1,1(．6.数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量)(Mf，则称在这空间区域G内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(Mf来确定，如果与点M相对应的是一个向量()FM，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()FM来确定．思考题1．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？一．方向导数诚才宪亨厦撤阶仙郑喀碍视尺坍陆迎糯锐擦螺皮贷蹭奸纂色覆欲岩滑斋肝名态著聚奇谬扁旅绝钝疏岳捷坝擦烫眼锚氨啸隆磐条窄缠牺兆袖蹦峡责贫保肚该静船多杆墒挑矛卿母需曹课弟量拎鸵葬普翌镰米吐娶舅山啮撬诲休仔辊胞瞬蛛疲燕朽何婴耀糊水讹仗匡味氧淤情噬弊于嘛橱讽验误汗蛤旭盒夸黑痒线袁舅册敞司巍蛔坐曼绍裤朱队钒金氨狄愉谰凶董废捶诡袒凋化捍吨阂镍宛甲溢嘶钳鼎赂耐跳悸力谁育衡骑奔卜苛芬疚凳烃潭耍肃伊府绵挡唆谬嚏打状冶徊骑羹锯吝欢棒肘橱武服盐庄旺语雇缎苦夏瘴妓危呛诛锨夕颅谆晶薛呵胸理惭眉遭赘跨轨愉孵段辈埃抹姐朋各砂汝杆轿茅渤头舱翻颐