19.3.1矩形的判定

张集学校魏俊廷2020年6月1日星期一从一般到特殊边角对角线矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．ABCD直角三角形斜边上的中线性质矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形平行四边形2020年6月1日星期一31、理解并掌握矩形的判定方法。2、能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题。定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（方法一）你还有其它的判定方法吗？ABCD∠A=900四边形ABCD是矩形∵∴（已知）（矩形的定义）几何语言：2020年6月1日星期一2020年6月1日星期一5如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?ABCDAC=BDABCDAC=BD都不是矩形2020年6月1日星期一6O如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？ABCD将AC同时向两边拉长，使AC=BDOABCD现在的ABCD会是一个什么图形？情境一：工人师傅为了检验在做门、窗或桌面等含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否相等，还要量一量它们的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你能说出其中的道理吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。2020年6月1日星期一命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD2020年6月1日星期一证明∴AB=CD,(平行四边形对边相等）∠ABC+∠DCB=180°(平行四边形邻角互补）∴△ABC≌△DCB（SSS）∵四边形ABCD是平行四边（已知）∵BC=CB（公共边）AC=BD（已知）∴∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）∴∠ABC=90°（等式的性质）∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）ABCD2020年6月1日星期一对角线相等的平行四边形是矩形明确：矩形的判定方法二：几何语言：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形ABCDO有一个角是直角有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)情境二：徐静同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：你能证明上述结论吗？有三个角是直角的四边形是矩形。2020年6月1日星期一已知：在四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。ABCD∟∟∟证明：∵∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形课本p89例4明确:矩形的判定方法三：有三个角是直角的四边形是矩形ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：2020年6月1日星期一你能归纳矩形的判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线平分且相等的四边形是矩形)有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：矩形的判定口诀：任意一个四边形，三角直角定矩形。对于平行四边形，对线相等亦矩形。例1:已知:M为ABCD的AD边的中点且MB＝MC,求证：ABCD是矩形。ABDCM证明：∵四边形ABCD是平行四边形AB＝DC∵M是AD的中点∴AM＝DM∵MB＝MC∴△BAM≌△CDM∴∠A＝∠D∴∠A＋∠D＝1800∴∠A＝900∴ABCD是矩形要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。例1变式：平行四边形ABCD,E是CD的中点,△ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形。DABCE学以致用C1、下列四边形中不是矩形的是（）A、有三个角是直角的四边形是矩形B、四个角都相等的四边形C、一组对边平行且对角相等的四边形D、对角线相等且互相平分的四边形2、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（）A、一组对边平行而另一组对边不平行B、对角线相等C、对角线互相垂直D、对角线相等互相平分C3.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX2020年6月1日星期一22例2：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．∴∠BGC=90°同理可证∠AFB=∠AED=90°∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)证明：∵AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD例3：延长Rt△ABC斜边上的中线CE到D，使DE＝CE。求证：四边形ACBD是矩形。ACBED分析：要证四边形ACBD是矩形，已经有一个直角的条件，若能证它是平行四边形就可以了。证明:∵E是AB的中点∴AE=BE∵DE=CE∴四边形ACBD是平行四边形∵∠C=90∴四边形ACBD是矩形2020年6月1日星期一24∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°ABCD是矩形四边形ABCD是矩形1.判定一个四边形是矩形的方法是：本节课学习了什么内容，你有何收获？布置作业1.习题19.2第3（1),4题2.同步练习19.3（三）