指数和指数函数文科复习

2.4指数与指数函数-2-知识梳理考点自测1.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N+,且n1);正数的负分数指数幂的意义是𝑎-𝑚𝑛=1𝑎𝑚𝑛(a0,m,n∈N+,且n1);0的正分数指数幂等于;0的负分数指数幂.(2)有理指数幂的运算性质:aras=,(ar)s=,(ab)r=,其中a0,b0,r,s∈Q.上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用.0没有意义ar+sarsarbr-3-知识梳理考点自测2.指数函数的图像与性质y=axa10a1图像定义域(1)R值域(2)性质(3)过定点(4)当x0时,;当x0时,(4)当x0时,;当x0时,(5)在(-∞,+∞)内是(5)在(-∞,+∞)内是(0,+∞)(0,1)y10y10y1y1增加的减函数-4-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)(𝜋-4)44=π-4.()(2)𝑎𝑛𝑛与(𝑎𝑛)n都等于a(n∈N+).()(3)(-1)24=(-1)12=-1.()(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若aman,则mn.()××××2.函数y=2|x|的值域为()A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(0,1]B解析:∵|x|≥0,∴2|x|∈[1,+∞),故选B.-5-知识梳理考点自测3.(2017北京,文5)已知函数,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增加的B.是奇函数,且在R上是增加的C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数f(x)=3x-13𝑥B4.(2017广西桂林模拟)已知x0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是()A.B.(1,2)C.(1,+∞)D.(-∞,1)A12,15.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内为减函数,则实数a的取值范围是.(-2,-1)∪(1,2)-6-考点一考点二考点三学科素养微专题指数幂的化简与求值例1求值与化简:(1)16x8y44(x0,y0)的化简结果为()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y(2)14-12·(4𝑎𝑏-1)3(0.1)-1·(𝑎3·𝑏-3)12=(a0,b0).D85思考指数幂运算应遵循怎样的原则?-7-考点一考点二考点三学科素养微专题指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.方法总结-8-考点一考点二考点三学科素养微专题指数函数的图像及其应用例2(1)(2017陕西西安模拟)函数(a0,a≠1)的图像可能是()y=ax-1𝑎(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过定点P,则点P的坐标是()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)(3)(2017河北衡水模拟)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.DA[-1,1]-9-考点一考点二考点三学科素养微专题(3)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示.因为曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,所以-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1].-10-考点一考点二考点三学科素养微专题指数函数的性质及其应用(多考向)考向1比较指数式的大小例3已知a=343,b=925,c=12113,则()A.bacB.abcC.bcaD.cabA解析:因为a=343=923925=b,c=12113=1123923=a,所以cab.思考如何进行指数幂的大小比较?-11-考点一考点二考点三学科素养微专题考向2解简单的指数方程或指数不等式例4已知函数f(x)=12𝑥-7,𝑥0,𝑥,𝑥≥0,若f(a)1,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)C思考如何解简单的指数方程或指数不等式?-12-考点一考点二考点三学科素养微专题考向3指数型函数与函数性质的综合例5(2017福建厦门一模,文9)当x0时,函数f(x)=(aex+b)(x-2)是增加的,且函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,则使得f(2-m)0成立的m的取值范围是()A.{m|m-2或m2}B.{m|-2m2}C.{m|m0或m4}D.{m|0m4}C解析:因为y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图像关于y轴对称.因为f(x)是偶函数,且f(2)=0,所以当x2时,f(x)0;当x-2时,f(x)0.因为f(2-m)0,所以|2-m|2,解得m4或m0,故选C.思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指.当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造同一幂函数,然后比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.-13-考点一考点二考点三学科素养微专题3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,首先要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.方法总结2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论-14-考点一考点二考点三学科素养微专题思想方法——数形结合思想解指数不等式典例(1)(2017吉林长春模拟)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)(2)若,则满足f(x)0的x的取值范围是.答案:(1)D(2)(0,1)f(x)=𝑥23−𝑥-12-15-考点一考点二考点三学科素养微专题解析:(1)不等式2x(x-a)1可变形为x-a12𝑥.在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y=12𝑥的图象.由题意知,在(0,+∞)内,直线有一部分在y=12𝑥图象的下方.由图可知,-a1,所以a-1.-16-考点一考点二考点三学科素养微专题(2)令y1=𝑥23,y2=𝑥-12,f(x)0即为y1y2,在同一平面直角坐标系中作出函数y1=𝑥23,y2=𝑥-12的图象如图所示.由图知,当0x1时,y1y2,所以满足f(x)0的x的取值范围是(0,1).反思提升一些关于指数的方程、不等式问题的求解,往往利用相应的函数图像,数形结合求解.