2019版高考(理科)复习：7.2-简单的线性规划

§7.2简单的线性规划高考理数(课标专用)A组统一命题·课标卷题组考点简单的线性规划1.(2017课标Ⅱ,5,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最小值是 ()A.-15B.-9C.1D.92330,2330,30,xyxyy五年高考答案A本题考查简单的线性规划问题.根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值.由 得点A的坐标为(-6,-3).∴zmin=2×(-6)+(-3)=-15.故选A.2330,30xyy2.(2014课标Ⅱ,9,5分,0.798)设x,y满足约束条件 则z=2x-y的最大值为 ()A.10B.8C.3D.270,310,350,xyxyxy答案B由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由 得A(5,2).当直线2x-y=z过点A时,z=2x-y取得最大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.70,310xyxy方法总结解决线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点,并求出该点坐标;③求出目标函数的最大值或最小值.3.(2018课标Ⅰ,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为.220,10,0,xyxyy答案6解析本题主要考查简单的线性规划.由x,y所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示).作出基本直线l0:3x+2y=0,平移直线l0,当经过点A(2,0)时,z取最大值,即zmax=3×2=6.题型归纳线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求线性规划中参数的值的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程求解参数的值;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.4.(2018课标Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为.250,230,50,xyxyx答案9解析本题考查简单的线性规划.由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.5.(2017课标Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件 则z=3x-2y的最小值为.21,21,0,xyxyxy答案-5解析本题考查线性规划问题,考查学生对数形结合思想的应用能力.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在A点处取最小值,又由 解得 即A(-1,1),所以zmin=3×(-1)-2×1=-5.21,21xyxy1,1,xy温馨提醒在求解直线型目标函数z=Ax+By的最值时,一定要注意y前系数B的符号.6.(2017课标Ⅲ,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x-4y的最小值为.0,20,0,xyxyy答案-1解析本题考查简单的线性规划.画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界).可得目标函数z=3x-4y在点A(1,1)处取得最小值,zmin=3×1-4×1=-1.7.(2016课标Ⅲ,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为.10,20,220,xyxyxy答案 32解析由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B ,C(0,1),由z=x+y知y=-x+z,当直线y=-x+z过点B 时,z取最大值 . 11,211,2328.(2015课标Ⅰ,15,5分,0.866)若x,y满足约束条件 则 的最大值为.10,0,40,xxyxyyx答案3解析由约束条件画出可行域,如图.  的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以 的最大值即为直线OA的斜率,又由 得点A的坐标为(1,3),则 =kOA=3.yxyx10,40xxymaxyx解题关键分析出 的几何意义是可行域内点(x,y)与原点O连线的斜率是解题的关键.yx导师点睛(1)解决线性规划问题要利用数形结合的思想方法,坚决杜绝不画可行域,直接代点求解的恶习,因为可行域不一定是三角形;(2)将目标函数进行有效变形是解题的关键.9.(2016课标Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析设生产产品Ax件,产品By件,依题意,得 设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2100x+900y.画出可行域(如图),易知最优解为 (满足x∈N,y∈N),则Emax=216000. 0,0,1.50.5150,0.390,53600,xyxyxyxy60,100xy答案216000考点简单的线性规划1.(2018天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为 ()A.6B.19C.21D.455,24,1,0,xyxyxyyB组自主命题·省(区、市)卷题组答案C本题主要考查线性目标函数最值的求解.由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21,故选C.2.(2017浙江,4,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+2y的取值范围是 ()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)0,30,20,xxyxy答案D本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法.不等式组形成的可行域如图所示.平移直线y=- x,当直线过点A(2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D. 12易错警示1.易把可行域看成是图中的三角形OAB区域,而错选A;同时,又错认为过点A时,取到最大值,而错选B.2.可行域判断对了,但错认为过点B时,z有最小值,从而错选C.3.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.2 B.4C.3 D.620,0,340xxyxy22答案C由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|= =3 .故选C.22(21)(21)24.(2015福建,5,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值等于 ()A.- B.-2C.- D.220,0,220,xyxyxy5232答案A由约束条件画出可行域如图(阴影部分). 当直线2x-y-z=0经过点A 时,zmin=- .故选A.11,252评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.5.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-30,2,0.xyxyy答案B作出可行域如图.①当a0时,显然z=ax+y的最大值不为4;②当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0a1时,z=ax+y在B(1,1)处取得最大值,zmax=a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y的最大值为2;⑤当a1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.6.(2015重庆,10,5分)若不等式组 表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则m的值为 ()A.-3B.1C. D.320,220,20xyxyxym4343答案B如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m2,即m-1,由图知所围成的区域为△ABC及其内部,S△ABC=S△ADC-S△BDC.易知点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为 (1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m,所以S△ABC= (2+2m)(1+m)- (2+2m)· (1+m)23121223= (1+m)2= ,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.13437.(2014安徽,5,5分)x,y满足约束条件 若z=y-ax取得最大值的最优解 ,则实数a的值为 ()A. 或-1B.2或 C.2或1D.2或-120,220,220.xyxyxy1212答案D作出可行域(如图所示的△ABC及其内部).由题设z=y-ax取得最大值的最优解不唯一可知:线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合.又kAB=-1,kAC=2,kBC= ,∴a=-1或a=2或a= ,验证:a=-1或a=2时,满足题意;a= 时,不满足题意.故选D.1212128.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 ()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案D设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得,x,y满足: 该不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)(满足x∈N,y∈N)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.3212,28,0,0,xyxyxy9.(2018北京,12,5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是.答案3解析本题主要考查简单的线性规划问题.由x+1≤y≤2x作出可行域,如图中阴影部分所示.设z=2y-x,则y= x+ z,当直线y= x+ z过A(1,2)时,z取得最小值3.12121212方法总结解决简单的线性规划问题的方法先利用线性约束条件作出可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而求得最值.10.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件 则z=x+3y的最小值是,最大值是.0,26,2,xyxyxy答案-2;8解析本小题考查简单的线性规划.由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图. 当直线y=- x+ 过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.133z思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y=- x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时