余弦定理及其应用

1复习回顾正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：CBAcbasin:sin:sin::2问题：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角)3余弦定理及其应用4CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcc2＞a2+b2c2＜a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=a2+b25是寻找解题思路的最佳途径c=AcbCBa∣AB∣c2==ABABAB=AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想6证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222证明7ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明8证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和BC=a,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D9由此可得：余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．应用：已知两边和一个夹角，求第三边．10隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。已测的：ＡＢ＝１千米，AＣ＝千米角Ａ＝６０Ｏ求山脚ＢＣ的长度．解：AACABACABBCcos|||2||||22247212312)23(12227BC2311222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA222090cbaA222090cbaA剖析定理abcbaC2cos222剖析12剖析定理能否把式子转化为角的关系式？Abccbacos2222分析：ARasin2:得RCcBbAa2sinsinsin:由正弦定理BRbsin2CRcsin2:cos2222并化简得代入AbccbaACBCBAcossinsin2sinsinsin222202000:sin70sin50sin70sin50.练习求的值2020000:sin70sin502sin70sin50cos60解原式20sin6034剖析13（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB剖析定理剖析14例1、在△ABC中，已知求角A、Ｂ、Ｃ。13,2,6cba例２、在△ABC中，已知求b及ＡOBca45,26,32例３、在△ABC中，，那么Ａ是（）222cbaＡ、钝角Ｂ、直角Ｃ、锐角Ｄ、不能确定那呢?222cba15提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形222cba△ABC是锐角三角形222cba△ABC是直角三角形222cba例4、△ABC中，求B，并判断△ABC的形状。2,7,3cba16:问题正弦定理可解决的几类;,)1(解三角形已知两角和任一边.,)2(解三角形角已知两边和其中一边对:问题余弦定理可解决的几类;,)1(解三角形已知两边和它们的夹角.,)2(解三角形已知三边AAS,ASASSA?SSSSAS17小结：余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222bcacbA2cos222acbacB2cos222abcbaC2cos222应用：１、已知两条边和一个夹角，求第三条边。２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。18练习；（1）在ABC中，已知b=34，c=32，A=0120，求a.（2）在ABC中，已知a=62，b=22，c=26，求A、B、C的值。19解：（1）2a=2b+2c－2bc·Acos=84a=212（2）解：bcacbA2cos222=21acbcaB2cos222=22A=060，B=045则C=0075180BA20作业：1,P10习题3(2),习题4(1)2,补充:在三角形ABC中,已知3,试卷半张cCABba及、求,45,2,3