行列式的计算毕业论文

1行列式的计算方法数学与信息科学学院数学与应用数学专业摘要：行列式是高等代数的一个基本概念。求解行列式是在高等代数的学习中经常遇到的基本问题。本文主要介绍了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降阶法、升阶法、归纳发、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结与每种方法相适应的行列式的特征。关键词：行列式的定义行列式的性质计算方法21行列式的基本理论（1）行列式的定义行列式的定义:n阶行列式用符号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nD表示，它代表n！项的代数和，这些项是一切可能的取自于nD中不同行不同列的n个元素的乘积nnjjjaaa2121，项nnjjjaaa2121的符号为)(21)1(njjj，即当njjj21为偶（奇）排列时该项的符号为正（负），也就是说nnnnjjjjjjjjjaaa21212121)(n)1(D这里njjj21表示对所有n阶排列求和。（2）行列式的性质首先我们应该熟练掌握并会运用行列式的以下性质:性质1:行与列互换，行列式的值不变。性质2：某行或列的公因子可以提到行列式的符号外。性质3：如果某行(列)所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同。性质4：两行(列)对应的元素相同，行列式的值为零。性质5：两行(列)对应的元素成比例，行列式的值为零。性质6：某行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式的值不变。性质7：交换两行(列)的位置，行列式的值变号。2行列式的计算方法2.1直接展开法和拉普拉斯展开法直接展开法即运用行列式的定义直接将行列式展开计算。3例1：（1）证明nnnnkkkknnnnknnkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaaD111111111111111111110000.（2）证明0000000000525142413231252423222115141312115aaaaaaaaaaaaaaaaD。证：（1）设nnnnkkkkbbbbDaaaaD1111211111,，)(ijdD，,,2,1,jinkkk,,1,，其中njibdkjiadijjkikijij,,2,1,,,,,2,1,,))((。由定义得D)()1(212121)()1(21)()1()(nkkknknkrnkrkkrrrrrrrrrijdddddd=)()(121)]()([1112111)1(nknknkpkpkrrnppkrrrpkpkrrbbaaa=)()(121)]())([()(111212121)1()1(nknknkpkpkrrnppkrrrpkpkpkrrrbbaaa=knnnkkrrpkpknpppkpkpkkrrrrrrbbaaa111212121)()(1)]())([(21)()1()1(=knnnkkrrppnpppppkrrrrrrbbaaa1112121211)(21)()1()1(=21DD。则nnnnkkkknnnnknnkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaa111111111111111111110000。（2）由行列式的定义可知54325115154321)(5)1(pppppppppaaaaaD。由于在543,,ppp中至少有一个大于等于3，因此始终有0543543pppaaa，故0)1(51543215154321)(5pppppppppaaaaaD4我们引入以下定理，拉普拉斯定理：任意取定n阶行列式D的某k行(列)(nk1)，由这k行(列)元素所组成的一切k阶子式(共有knC个)与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。拉普拉斯定理的四种特殊形式：1）0nnnnmmmnmmAABCB2）0nnnmnnmmmmACABB3）0(1)nnmnnnmmmmmnAABBC4）(1)0nmnnmnnnmmmmCAABB。例2：计算2n阶行列式32214321112nnnnnnnnDn解：3021432101)1(1112nnnnnnDn行展开按+(n+1)n211）（0221432110nnnnn列展开第二个行列式按第行展开第一个行列式按第11-n25221)12(221)-(2n1)-(2n)1)(2)(1(3)(-1)n(nnnnDnnD)1(2)1(2)1(22)2)(1()3(nnnDDnnDnn于是可得)1(222nnDD=nnnDD)2()2()2(21)2(22。2.2利用行列式的基本性质计算有些行列式直接展开比较复杂，我们可以运用行列式的基本性质将行列式简化然后再展开计算。例3：计算n阶行列式nD=nnnnnnbababababababababa.........212221212111。解：将第一行的-1倍加到第2,3,...,n行，得nD12312rrrrrrn11112121212111.........aaaaaaaaaaaabababannnn当n3时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，则nD=0。当n=1时，1D=11ba；当n=2时，2D=22122111babababa=(11ba)))(())(()(1221122122bbaabababa例4：计算2n阶行列式dcdcdcbababaDn00002。6解：nnnbddcdcbabaaD21)1(22)1(00000001行展开按第)1(20000000ncdcdcbaba=)1(2)1(2)1(2)(nnnDbcadbcDadD21)3(23)2(22)()()(DbcadDbcadDbcadnnn=nnbcaddcbabcad)()(1。2.3计算行或列相等的行列式对于一些行或列相等的行列式我们一般将其各行或列加到第一行或列然后再化简计算。例5：计算下面行列式xaaaaxaaaaxaaaaxDnnnn3212121211解：将其各列加到第1列，并提出公因子)(1niiax可得7D=xaaaxaaaxaaaaxnnnnii322221111111)(111312rrrrrrn)(1niiaxnaxaaaaaxaaaxa231221211000000001=niiniiaxax11)()(2.4两条线型行列式的计算计算两条线型行列式要根据行列式的特点和性质进行化简、计算。为了更好的研究两条线型行列式的计算首先我们要讨论一些特殊行列式的值。(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上的元素的乘积，即nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa22112122211122211211（2）次三角形行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即11,212)1(1,121,2111,22111,111)1(nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa分块三角形行列式可化为低级行列式的乘积，即nnnnmmmmmmnmnnnmmnnmmmmmbbbbccaaccaabbccbbccaaaa11111111111111111111111100000000nnnnmmmmbbbbaaaa1111111180000000011111111111111111111111111nnnnmnmmnmmnmnnnmnmmmmbbbbaaccaaccccbbccbbaaaannnnmmmmmnbbbbaaaa11111111)1(例6：计算n阶行列式abbbbaDn0000000000。解：按第一列展开得nnnnbbbabbbbabbaDnn2)2)(1()1()1(00000000)1(000000121=)()1()1()1()1(2221222)1(2)2)(1(2)3)(2(abbbbannnnnnnnnn2.5箭形行列式的计算对于形如nnnnaaaaaaa1222111211,nnnnnnaaaaaaa12,1211211,nnnnnnnaaaaaaa21,122111,nnnnnnaaaaaaa212,121111的箭形(爪形)行列式，可以利用对角元素或次对角元素将一边消为0然后直接利用行列式的性质化为三角形或次三角形行列式来计算。9例7：计算100101012001111nnDn。解：00000100200)1(11112111121nnccccDnnnnnn=)1(!)1(1212)1(nnnn2.6三对角行列式的计算形如nnnnnnnnaaaaaaaaaa1,,11,1322322211211的行列式我们称之为三对角行列式，可以直接展开得到两项地推关系21nnnDDD然后用一下方法求解。方法1：若n较小，可以直接递推计算。方法2：用第二数学归纳法证明：验证n=1时结论成立，假设nk时结论成立，如果能证明n=k+1时结论成立则对任意自然数结论都成立。方法3：将21nnnDDD变形为)(211nnnnpDDqpDD，其中pqqp,有韦达定理可知p和q是一元二次方程02xx的两个根。令1)(nnpDDxf，则利用)1()(nqfnf递推求出)(nf，再由)(1nfpDDnn递推求出nD。方法4：设nnxD。代入021nnnDDD可得021nnnxxx。称02xx为特征方程，求出其根21xx和)(21xx假设，则nnnxkxkD2211。其中1k，2k可以通过令n=1和n=2来求得。10例8：计算n阶行列式111nD。解：按第1列展开得111)1()(211nnDD=21)(nnDD变形为)(211nnnnDDDD由于1D，2222)(D，利用以上递推公式可得1nnDD)()(32221nnnnDDDDnnDD)(122故有nnnnnnnnnDaDDD122121)(nnnnnnnnD1112211例9：证明naaaaaaDncoscos211cos211cos211cos211cos解：第二数学归纳法当n=1时，左边=acos右边；当n=2时，左边=aaaa2c