数学模型之慢跑者与狗

数学模型作业完成时间：11.5.201慢跑者与狗1.问题的提出一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.2.模型建立设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)).则X=10+20cost,Y=20+15sint,狗从(0,0)出发，建立狗的运动轨迹的参数方程:3.模型求解3.13.1.1w=20时,建立m-文件eq3.m如下:functiondy=eq3(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);3.1.2再取t0=0,tf=10,输入如下命令：[t,y]=ode45('eq3',[0,10],[0;0]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')plot(y(:,1),y(:,2),'r*')相应图形如下图一所示：0)0(,0)0()sin1520()sin1520()cos2010()cos2010()sin1520()cos2010(2222yxytytxtwdtdyxtytxtwdtdx数学模型作业完成时间：11.5.202-15-10-50510152025303505101520253035图1.w=20时小狗与慢跑者的运动轨迹3.1.3在3.1.2所示命令中不断修改tf的值，二分法分别取tf=5,2.5,3.75,…,至3.15时，狗刚好追上慢跑者。此时的图像为：-10-505101520253005101520253035图2.w=20时小狗刚好追上慢跑者的运动轨迹附：相应程序段如下：[t,y]=ode45('eq3',[0,3.15],[0;0]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'r*')plot(X,Y,'b*',y(:,1),y(:,2),'r*')数学模型作业完成时间：11.5.2033.23.2.1w=5时,建立m-文件eq4.m如下:functiondy=eq4(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);3.2.2再取t0=0,tf=10,输入如下命令：[t,y]=ode45('eq4',[0,10],[0;0]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'b+',y(:,1),y(:,2),'r*')相应图形如下图三所示：-10-505101520253005101520253035图3.w=5时小狗与慢跑者的运动轨迹3.2.3在3.2.2所示命令中不断修改tf的值，二分法分别取tf=20,40,80,…,可以看出狗永远追不上上慢跑者。此时的图像为：注：+椭圆为慢跑者的轨迹，*线为狗的轨迹，随时间增加，狗沿着一个小椭圆奔跑，永远追不上人。数学模型作业完成时间：11.5.204-10-505101520253005101520253035图4.w=5时小狗永远追不上慢跑者的运动轨迹附：相应程序段如下：[t,y]=ode45('eq4',[0,800],[0;0]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'b+',y(:,1),y(:,2),'r*')