高中数学选修2-2函数的极值与导数

11.3.2函数的极值与导数[学习目标]1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一函数极值的概念1.极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？答案(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同.如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点.(2)不一定.知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤1.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).2(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.思考可导函数f(x)若存在极值点x0，则x0能否为相应区间的端点吗？答案不能.题型一求函数的极值例1求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值.解由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝283.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.跟踪训练1求下列函数的极值.(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝2x＋8x.解(1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，3令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y极大值57极小值－7从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.当x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2－8x2＝21－4x2＝21－2x1＋2x，令y′＝0，得x＝－2或x＝2.当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.题型二利用函数极值确定参数的取值范围(或值)例2已知函数f(x)＝6lnx－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若y＝f(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.解(1)∵f′(x)＝6x－2ax－8，∴f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).由(1)知f(x)＝6lnx＋x2－8x＋b.∴f′(x)＝6x＋2x－8＝2x2－4x＋3x.由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去).∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3).(3)由(2)可知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增.且当x＝1和x＝3时，f′(x)＝0.∴f(x)的极大值为f(1)＝6ln1＋1－8＋b＝b－7，f(x)的极小值为f(3)＝6ln3＋9－24＋b＝6ln3＋b－15.∵当x充分接近0时，f(x)＜0，当x充分大时，f(x)＞0，4∴要使f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需f1＝b－7＞0，f3＝b＋6ln3－15＜0.∴b的取值范围是7＜b＜15－6ln3.反思与感悟解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用.跟踪训练2设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4，若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围.解因为a＞0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”.由f′(x)－9x＝0(即ax2＋(2b－9)x＋c＝0)的两实数根分别为1,4，可得9－2ba＝5，ca＝4，故2b＝9－5a，c＝4a.所以对于一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9).不等式ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于a＞0，Δ＝9a－1a－9≤0，解得1≤a≤9.易验证a＝1与a＝9均满足题意，故a的取值范围是[1,9].题型三函数极值的综合应用例3已知函数f(x)＝－13x3＋a2x2－2x(a∈R)，若过点0，－13可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.解设点P(t，－13t3＋a2t2－2t)是函数y＝f(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率k＝f′(t)＝－t2＋at－2，所以过点P的切线方程为y＋13t3－a2t2＋2t＝(－t2＋at－2)(x－t)，因为点0，－13在该切线上，所以－13＋13t3－a2t2＋2t＝(－t2＋at－2)(0－t)，即23t3－12at2＋13＝0.若过点0，－13可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，5则方程23t3－12at2＋13＝0有三个不同的实数根.令g(t)＝23t3－12at2＋13，则函数y＝g(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.令g′(t)＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝a2.因为g(0)＝13，g(a2)＝－124a3＋13，所以必须有ga2＝－124a3＋13＜0，即a＞2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.所以实数a的取值范围为(2，＋∞).反思与感悟求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点.跟踪训练3已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.解(1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b，所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x(x－2a3).当a＝0时，f′(x)＝－3x2≤0，函数f(x)没有单调递增区间；当a0时，令f′(x)0，即－3x(x－2a3)0，解得0x2a3，故函数f(x)的单调递增区间为(0，2a3)；当a0时，令f′(x)0，即－3x(x－2a3)0，解得2a3x0，故函数f(x)的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a∈[3,4]时，函数f(x)的单调递增区间为(0，2a3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f(x)极大值＝f(2a3)＝4a327＋b，f(x)极小值＝f(0)＝b.由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，所以fx极大值0，fx极小值0，即4a327＋b0，b0，解得－4a327b0.因为对任意a∈[3,4]，b－4a327恒成立，6所以b(－4a327)max＝－4×3327＝－4.所以实数b的取值范围为(－4,0).因忽视对所得参数进行检验而致误例4若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a，b的值.错解由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即a2＋a＋b＝9，2a＋b＝－3，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.错因分析由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件.因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错.正解由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即a2＋a＋b＝9，2a＋b＝－3，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a＝－3，b＝3不符合题意，应舍去.而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.防范措施根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍.1.已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3，＋∞)7C.(2，＋∞)D.(－∞，3)答案B解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.2.下列关于函数的极值的说法正确的是()A.导数值为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D解析由极值的概念可知只有D正确.3.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点答案C解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.－1＜a＜2B.－3＜a＜6C.a＜－1或a＞