线性模型引论-部分习题解答

第一章3.解：eyijiiji=1,2y=1,2,3可写成矩阵形式为：Y=X+e.4.解：（1）令xzii11xi21i2zxi2i3lnzezzziiiii3322110y（2）等式两边同时取对数：xxeyiiii212110lnln令yYiilnxZ2i1i1eeilni，,22110eZZYiiii（3）等式两边同时平方后取对数，转变之后得到：exyiii1102)11ln(令e)11ln(2Yiy得到：exiiY110（4）令xxtii21i1etxi1i2xti21i3lnetttyiiiii3322110第三章多元正态分布3.3设2XN(,)211,211(xx)kexp{(x,x)}2fQ，利用待定系数法可设：2212111122221Q(x,x)A(x)(x)(x)(x)2B展开可得：A=1B=-1C=21223，2142的1221再将12的值待入原式可得：12，21，22则可以根据教材66页例题3.3.3结论得结果，本题是二维的正态分布可以直接利用结论，对于一般情况需根据定义3.3.1进行分析。3.4由题意，因为1x….nx相互独立，具有公共均值和2（1）根据1iiiYXX可以推到112YXX则11212()()()E()0EYEXXEXX依次类推，iY的均值为0，又因为22D(X)E(X)E(X)=2，所以22E(X)D(X)E(X)=2+2则22D(Y)E(Y)E(Y)iii，所以22111D(Y)E(Y)E(Y)=221212E[(XX)](E(XX))=2222()2=22(2)根据（1）可知：221212(Q)E[(XX)......(XX)]nnE=11D(Y).......D(Y)n=22(n1)第四章4.3证明：*11()AAXXXy*21()()COVAAXXA因为By为A的任一无偏估计，则A=BX*211()()(())COVByCOVABBBXXXXB令12bB12bB12QX()QPQQQQ可以得：*21122()()(())(())()0QCOVByCOVABBBXXXXBbbbQQQQbbIPb则*()()COVByCOVA成立。4.4证明：（1）22ˆˆˆˆyxeenpnp又因为ˆ()0Ee2ˆcov()()xeIP其中xIP为幂等阵。422ˆˆ()ˆ()()()xIPeeVarVarnpnp（2）2224224()()()2()[](2)2()2()(2)2EyAyyIXXyyIXXyyIXXyEnpnpnpnpnpnp（3）222222ˆ()ˆcov()()()xMSEtryAyEtrIPnp2222()()()()()()cov()222MSEyAyEyAyyAyXIXXXtrIXXynpnpnpnp2ˆ()()MSEyAyMSE故第五章5.3证明：首先将上述模型写成矩阵形式1111mmmmyXeyXe211(0,)neNI2(0,)mnmeNI将上述合并，得到如下模型：111122200mmmmyeXyeXye12212...(0,)nnnmmeeNIe因此，需检验的假设为：120mH若12ˆˆˆ(,,...,)m根据LS估计，得111111111222222ˆ()00ˆ()00ˆ()mmmmmmmmmyXXXyXXXyXXXyXXXyXXXy111()mmeiiiiiiiiSSyyyXXy111ˆ()()mmHiiiiiiXXXy11111()mmmmHeiiiiiiiiiiiiSSyyyXXXXy111111()()mmmmHeeiiiiiiiiiiiiiiSSSSyXXyyXXXXy11()imeiXiiSSyIPy又因为e-eHeSSSSSS与相互独立。e(-)(1)()HeeSSSSpmFSSnmp成立5.4证明11121n111121n211121n311121n4,...,...,...,...YYYYYYYYYYYY将观测值，，；，，；，，；，，表示为线性模型形式。11111121222444n1+n2+n3+n441001nnmnYYeYYeYYe112244ˆˆˆ==ˆYYY其中n1j1ii=1j1=nYYj=1,2,3,4其中iiYMVU其中分别为的估计ˆyy-XyeSS其中14111)1())((iinHXXH故可得检验统计量)()()()4()4()([))(()1)()(()1())((411242231414141414113131141423114111jnjijjiiiiiiiiijnjijjiiiiiYYYYYYnnnnYYYYYYnYYYYFnHXXH第六章6.3对正态线性回归模型),0(~,120INeeXy，其中X为)1(pn矩阵，试导出假设cHHcHppp113112111:,:,:的F统计量.这里c为给定的常数.解：（1）111:...pHc得到的约简模型：011...iiipiycxcxe相当于约束条件为：010pIIc此时1001ˆ()HnyRSSxycycxxy0nycxy对于原模型：00011ˆˆˆ()IIIyRSSynyxyxxy所以1ˆˆ()()()HIIRSSRSSxycxycxy所以ˆ()/(1)/()IcxypFSSenp其中0ˆISSeyynyxy（2）201:...pH同理可得：20001ˆˆˆ()HIIInyRSSynyxyxxy同理：0ˆ()IRSSnyxy11p-11ˆ=IP其中此时：ˆˆ()/(1)F=/()IIxyPSSenp（3）、311:PHc0ˆ()IRSSnyxy同理：ˆˆ()/(1)F=/()IIxyPSSenpˆI11P其中11Pc6.4设22~为q在选模型（6.3.2）下的最小二乘估计，假设全模型（6.3.1）正确，试求2qE，并问此结果说明了什么？证明因为幂等阵，于是XPIyPIyeeqXqq''ˆˆ，利用定理3.2.1),())(()()ˆˆ(2''qqXXqqqqqqqPItryCovPItrXPXIXeeE这里利用了.0qXXPIq利用迹和幂等阵的性质,)()()ˆˆ(22'qXqqXrknPItreeEq则2'2)(ˆˆqqqqXrkneeEE这个结果说明2~q为2的无偏估计.第七章习题7.3：解模型为：yij=u+αi+eij，i=1，2，…，a；j=1，2，…，n；记y’=(y1,1，…y1,n1，…，ya,1，…，ya,na)，β’=（u，α1，α2，…αa），e’=(e11，…e1，n1，…，ea1…ea,na),且有：X=aaIIIInn1n1n0000，有一般形式：y=Xβ+e由H0=aacccuuu2211等价于0u-uu-u1-1-2211aaaacccc先转化为其次线性假设Hβ=0的检验问题：0=H*β=aaac1c1c1-c100000000c1c1c1-c111a2121*a21u又由：ˆ)''(''ˆˆ''ˆ0HHXXHHXXyXXXH）（）（）（SSe=2ˆXySSHe=2ˆHXy在Hβ=0下，得到：相应统计量为，)/()1/()(eaNSSaSSSSFeeH7.4解：（1）当a=4时，记100010000010001000010001X，β’=(u1，u2，u3，u4)，),,,(441j111jeeeee，，，，则有：y=Xβ+e又由：H0：u1=2u2=3u3,等价于H0：u1-2u1=2u2-3u3=0,0=H*β=43214321*）u,u,u,u（=β*H=0uuuu又由：ˆ)''(''ˆˆ''ˆ0HHXXHHXXyXXXH）（）（）（SSe=2ˆXySSHe=2ˆHXy在Hβ=0下，得到：相应统计量为，)44/(2/)(ebSSSSSSFeeH（2）其中X，β’，E’同上（1），则，y=Xβ+e又由：H0：u1=u2,等价于H0：u1-u2=0,又由：ˆ)''(''ˆˆ''ˆ0HHXXHHXXyXXXH）（）（）（SSe=2ˆXySSHe=2ˆHXy在Hβ=0下，得到：aSSSSSSFeeH/1/)(e综上有，检验具有共同方差的两个正太总体的均值是相等的t统计量的平方。第八章（1）①(错误!未找到引用源。)∩(错误!未找到引用源。)=0(行无关)(X)∩(Z)=0(列无关)错误!未找到引用源。[错误!未找到引用源。]∩[错误!未找到引用源。]=0②错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。显然错误!未找到引用源。列线性无关，即错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)=p+q所以H错误!未找到引用源。也是对模型y=X错误!未找到引用源。的可识别性约束条件。（2）y=X错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。y=X’X错误!未找到引用源。X’X错误!未找到引用源。=X’(y-Z错误!未找到引用源。)G’G错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。’(XH)错误!未找到引用源。=X’X错误!未找到引用源。+H’H错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。H错误!未找到引用源。=0错误!未找到引用源。G’G错误!未找到引用源。=X’X错误!未找到引用源。又错误!未找到引用源。X错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(y-Z错误!未找