高等代数【北大版】3-3

一、线性组合二、向量组的等价三、线性相关性四、极大无关组§3.3线性相关性设12,,,,nsP12,,,skkkP一、线性组合定义1122sskkk和称为向量组的一个线性组合.12,,,s若向量可表成向量组的一个线性组12,,,s合，则称向量可由向量组线性表出.12,,,s注：1)若，也称向量与成比例.k§3.3线性相关性2）零向量0可由任一向量组的线性表出.3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)n4）任一维向量都是向量组12(,,,)naaan也称为n维单位向量组．12,,,n的一个线性组合．1122.nnaaa事实上，有对任意皆有12(,,,),naaa§3.3线性相关性若能，写出它的一个线性组合．123(1,2,3,1),(5,5,12,11),(1,3,6,3)解：设，即有方程组112233kkk123123123123522531312631134kkkkkkkkkkkk（1）例1判断向量能否由向量组线性表出.123,,(2,1,3,4)§3.3线性相关性对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组(1)有解．它的一般解为2133113310010000000013232133113kkkk得(1)的一个解，(1,0,1)13151225313126311134A151203110000000031,k令从而有§3.3线性相关性1、定义二、向量组的等价向量组等价.若向量组中每一个向量12,,,s(1,2,,)iis若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个可以经向量组线性表出；12,,,t12,,,s皆可经向量组12,,,t线性表出，则称向量组§3.3线性相关性向量组之间的等价关系具有：1)反身性2)对称性3)传递性2、性质§3.3线性相关性三、线性相关性1、线性相关注：特殊情形2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.定义1：如果向量组中有一向量12,,,(2)ss称为线性相关的.可经其余向量线性表出，则向量组12,,,s1）向量组线性相关成比例.12,12,§3.3线性相关性定义1'：向量组称为线性相关12,,,(1)ss如果存在P上不全为零的数12,,,skkk线性相关的,11220.sskkk使在时，定义1与定义1'是等价的.2s注：例2判断下列向量组是否线性相关.123(1)(1,2,3),(2,4,6),(3,5,4)123(2)(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)§3.3线性相关性定义2：若向量组不线性相关，则称12,,,s若不存在P中不全为零的数，使12,,,skkkP11220sskkk向量组为线性无关的.12,,,s2、线性无关即则称向量组为线性无关的.12,,,s§3.3线性相关性11220sskkk必有120,skkk换句话说，对于一个向量组12,,,,s若由则称向量组为线性无关的.12,,,s§3.3线性相关性1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.个向量可由其余向量线性表出.3、线性相关性的有关性质2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关.§3.3线性相关性5）如果向量组线性无关，而向量组12,,,s线性相关，则可经向量组12,,,,s线性表出.(习题3)12,,,s都线性无关.4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组§3.3线性相关性线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解；的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.6）向量组12(,,,),iiiinaaa1,2,,is（2）111212112122221122000ssssnnsnsaxaxaxaxaxaxaxaxax向量组12(,,,),1,2,,,iiiinaaais线性相关§3.3线性相关性特别地，对于n个n维向量12(,,,),1,2,,iiiinaaain1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa行列式线性无关.12,,,n线性相关；12,,,n§3.3线性相关性的缩短组.7）若向量组12(,,,),1,2,,iiiinaaais线性无关，则向量组也线性无关.12,1(,,,,),iiiininaaaa1,2,,is向量组常称为向量组12,,,s12,,,s的延伸组；注：称为12,,,s12,,,s而相关，则向量组也线性相关.12,,,s反之，若向量组12,,,s线性§3.3线性相关性8）向量组线性相关的基本性质定理定理2设与为两个12,,,s12,,,ri)向量组可经线性表出；12,,,s12,,,r则向量组必线性相关.12,,,rii).rs向量组，若§3.3线性相关性要证线性相关，即证有不全为零的数12,,,r使12,,,,rkkk证：由i)，有1,1,2,,siijjjtir11220.rrkkk作线性组合11rsijijijxt11srijijjixt1122rrxxx1riiix11rsijijijxt若能找到不全为０的，使12,,,rxxx10,1,2,,rijiixtjs§3.3线性相关性中，方程的个数s＜未知量的个数r，在方程组（3）111122121122221122000rrrrsssrrtxtxtxtxtxtxtxtxtx从而有不全为零的数，使12,,,rxxx所以（3）有非零解.11220rrxxx所以线性相关。12,,,r则也使11220.rrxxx§3.3线性相关性推论2任意n＋1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论1若向量组可经向量组12,,,r12,,,s线性表出，且线线性无关，则12,,,r.rs的向量.（任意个n维向量必线性相关.）()mn§3.3线性相关性例2判断向量组是否线性无关？若线性相关，求一组非零数123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)123,,,kkk使1122330.kkk解：1122330,kkk设即有方程组1231231320270,390kkkkkkkk13233,kkkk解之得1233,1,1,kkk3k为任意数所以线性相关.123,,令31,k则有使1122330.kkk§3.3线性相关性由于123,,线性无关，于是有131223000xxxxxx设1122330,xxx即131122233()()()0xxxxxx例3已知向量组线性无关，向量123,,证明：线性无关.123,,解之得1230.xxx所以123,,线性无关.112,223,331,证：§3.3线性相关性1、极大线性无关组i)12,,,iiir线性无关；极大线性无关组，简称极大无关组.一个部分组12,,,iiir若满足定义12,,,s为nP中的一个向量组，它的设线性表出；12,,,iiir(1)jjsii)对任意的,可经j四、极大线性无关组秩则称12,,,iiir为向量组12,,,s的一个§3.3线性相关性1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.注3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.2）向量组和它的任一极大无关组等价.（根据定理2的推论1即得）§3.3线性相关性定义向量组的极大无关组所含向量个数称为这个性质：一个向量组线性相关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；它的秩＜它所含向量个数.向量组的秩.2、向量组的秩1）一个向量组线性无关的充要条件是2）等价向量组必有相同的秩.§3.3线性相关性3）若向量组12,,,s可经向量组12,,,t线性表出，则秩12{,,,}s秩12{,,,}t（习题10）例4设12(1,1,2,4),(0,3,1,2),345(3,0,7,14),(1,1,2,0),(2,1,5,6)1）证明：线性无关.12,2）把扩充成一个极大无关组.12,§3.3线性相关性1）证：由于不成比例，12,2）解：线性无关.12,1122330,kkk由即1312123123303027042140kkkkkkkkkk132333,,kkkkk为自由未知量.解得123,,线性相关.即可经线性表出.12,3§3.3线性相关性1122340,kkk由1230.kkk解得124,,线性无关.即不能由线性表出.12,4即13123123120310220420kkkkkkkkkk§3.3线性相关性112234450,kkkk知，再由行列式1012131121254206存在不全为零的数使1234,,,,kkkk1245,,,线性相关.0故即为由扩充的一个极大无关组.12,124,,1012030301014206§3.3线性相关性例5求向量组12(1,1,2,4),(0,3,1,2),345(3,0,7,14),(1,1,2,0),(2,1,5,6)的极大无关组.103121301121725421406A解：作矩阵对矩阵A作初等行变换化阶梯形§3.3线性相关性10312033030110102242A1031200000011010004410312011010004400000B由矩阵B知线性无关且为极大无关组.124,,125,,135,,134,,§3.3线性相关性附求向量组的极大无关组的一般步骤：12,,,s则就是一个极大无关组.12,,,rjjj12(,,,)sA第一步：作矩阵或12(,,,)sA为列向量时i为行向量时i第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵J.12{,,,}.sr若J中有r个非零行，则秩设J中第i个非零行第一个非零元所在列标号为,ij1,2,,,ir