近世代数课件(全)--4-1-唯一分解环

2020/6/1近世代数第四章整环里的因子分解§1唯一分解环2020/6/1一、几个概念设K是整环,,,.,abKcKstabc若(1)|,||abacabc1.整除:性质:称b整除a，并称b是a的一个因子，a是b的倍元.(2)|,||abbcac(3)|()()abbaZ在中,3|18,而3|7[]Qx21|1xx中,,而在21|1xx例1：[]zi在中,2+i|5,而2+i|3+i.2020/6/12.单位：可逆元例2：(3)[5]Z（1）Z中只有两个单位：（2）Z[i]的单位有：的单位有：1和-1；1，-1，i，-i；1和-1.性质:（1）一个整环至少有两个单位：1和-1；（2）两个单位的乘积也是单位；（3）单位的逆元也是单位.2020/6/13.公因子,,abdK|,|dadb且公因子：.如果,则称d为a与b的一个公因子.(1)d为a与b的公因子；最高公因子：,,.abdK(2)如果c为a与b的任一公因子,则有c|d，如果d满足：则称d为a与b的一个最高公因子(或最大公因子).如果d为a与b的任一最高公因子,性质：则任给单位u,du还是a与b的最高公因子.2020/6/14.相伴,,abKK~.ba,ba若存在单位，使得则称b与a相伴，也称b是a的相伴元记作5.平凡因子：称单位和相伴元为平凡因子；称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子.Z例3在中,其中1与-1为单位,6和-6与6相伴,6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.2,-2,3,-3为6的真因子.2020/6/1例4[]Zi1,1,,,ii5,5,5,5ii2,12ii|5abi5的平凡因子：全部真因子为：求[],.()()5cdiZistabicdi222225()()abcd中5的因子.221,5,25ab2020/6/16.不可约元,0,aKaa不是单位，则称为不可约元；若只有平凡因子，若有真因子，称为可约元.例5:Z中全部不可约元：素数及相反数.,0,aKaa,abc,bc性质：有真因子都不是单位（2）（1）不可约元与单位乘积是不可约元；2020/6/17.唯一分解元aK12rappp12saqqqrs~iiqp是中一个非零、非单位的元素.若满足:(1)可分解为中不可约元的乘积,(2)的上述分解式在相伴的意义下是有另一分解式:则有,且适当交换因子的次序,有,则称在中能唯一分解.aKa唯一的,即如果aaK2020/6/1例6[5]{5|,}ZababZ(1)9在Z中能唯一分解.933(3)(3)(2)9在[5]Z中不能唯一分解.证明：的单位只有1和-1；（1）2||9（2）的元都是不可约元：222921,3,921,则是单位；29,则是相伴元.22253ab在Z中无解；因此2||9的元都是不可约元.2020/6/1例6[5]{5|,}ZababZ(1)9在Z中能唯一分解.933(3)(3)(2)9在[5]Z中不能唯一分解.证明：的单位只有1和-1；（1）2||9（2）的元都是不可约元：933(25)(25),25253与都不是的相伴元（3）9[5].Z在里分解不唯一2020/6/18.素元,0,pKpp3|2525（）（）性质：素元一定是不可约元；例7在Z中全部素元：|,pab若不是单位，||,papb必有或者则称p为素元.不可约元未必是素元.素数及相反数3|253|252020/6/1二、唯一分解环K问题：是否整环中非零、非单位的元素都能中任一非零非单位的元素都是唯一分解环.（不一定）唯一分解？定义：如果能唯一分解,则称K定理1唯一分解环的不可约元等同于素元.Ka定理2若有以下性质：都可以分解成不可约元的乘积；是唯一分解环.（1）每一个非零、（2）不可约元都是素元,则K非单位的元素Z例8为唯一分解环.2020/6/1定理3唯一分解环中,任何两个元都有最高公因子；a,b的两个最高公因子只能差一个单位因子.