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12020/6/1电信工程学院分数阶FROURIER变换22020/6/1电信工程学院本小组人员李耀民张陆勇张风山朱雪田张咏梅王春光邓天乐孙华明32020/6/1电信工程学院分数阶FROURIER变换目标:FRFT的本质特征之一:旋转不变性FRFT的本质特征之二:FRFT的内涵FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理FFT为FRFT的一个特例42020/6/1电信工程学院相关术语FRFT:FractionalFourierTransform广义Fourier变换:FractionalFourierTransformSTFT:Short-TimeFourierTransformMSTFT:ModifiedShort-TimeFourierTransformWD:WignerDistributionLFM:线调频信号52020/6/1电信工程学院主要内容1问题的提出2FRFT的基本概念3FRFT的基本性质4一些常见信号的FRFT5FRFT的计算方法6FRFT的二维表示7FRFT的应用8FRFT域内的算子9我的想法62020/6/1电信工程学院一.问题的提出信号的时频滤波时域滤波频域滤波时频域滤波72020/6/1电信工程学院一.问题的提出有用信号为高斯信号e-(t-4)2干扰为线性调频信号e-jt2.82020/6/1电信工程学院一.问题的提出信号:高斯包络的线调频信号(LFM)干扰为加性实值白噪声.92020/6/1电信工程学院一.问题的提出LFM信号可广泛应用于各种信息系统通信雷达声纳地质勘探102020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念传统Fourier变换的定义及性质两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对G(w)=g(t)e-jwtdt/√2g(t)=G(w)ejwtdw/√2G(w)=F(g(t))F2(g(t))=F[F(g(t)]=g(-t)F3(g(t))=G(-w)F4(g(t))=F[F3(g(t)]=g(t)112020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念分数阶的Fourier变换的定义Fourier变换可以看成时域与频域的关系,在时频平面上为旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数,那么是否存在旋转角度为的Fourier变换?旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢?如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换.它应具有的基本性质:1.零旋转R0=I2.与Fourier变换等价R/2=F3.旋转相加性RR=R+4.恒等变换R2=I122020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念核概念及性质设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换:其中核函数为:=p/2dttxutKutxFuXppp)(),()(([{)()]})12(),(2),(,2cot1),()cot21csccot21(22nutnutnejutKtutujp若若若132020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念核函数具有以下性质:1.互换性2.3.4.积分相加性(完备性)5.正交性),(),(tuKutKpp),(),(*utKutKpp),(),(utKutKpp),(),(),(utKdzuzKztKqpqp)'()',(),(*uudtutKutKpp142020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念广义Fourier变换的两个特例1.以传统的Fourier变换为例,我们可以看出,传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例,在广义Fourier变换中,令p=1即为传统的Fourier变换.此时广义Fourier变换的核函数即为传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数x(t),p=0=0核函数为(t-u)3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例4.核函数为p的连续函数152020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念dtutKtxuxFuXppp),()()}({)()12(),(2),(,)(2cot1csccot21cot2122nxtxntxndteetxejjuttjuj若若若162020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念方波的几种分数阶Fourier变换.实线:实部虚线:虚部172020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念图(a):三角函数rect(x/2)*rect(x/2)的幅值(实线)和p=0.5的FRFT的幅值(虚线)图(b):图(a)的相位,三角函数(实线),FRFT(虚线)图(c):有限长正旋函数ej2xrect(x/20)的实部图(d):图(c):有限长正旋函数的FRFT(p=0.5)的实部图(e):线性调频函数e-j2x2的实部图(f):图(e)的FRFT(p=2arctan(-2)/+1)182020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念信号重构:可逆无损失的变换,仅仅改变信号的形式,并不改变信号的内容,因而信号通过正变换由一个域变换到另一个域,而通过反变换又回到原始域。有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一定的条件。比如,(1)FFT与IFFT(无条件)G(w)=g(t)e-jwtdt/√2g(t)=G(w)ejwtdw/√2192020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念(2)STFT:ISTFT:条件:(3)FRFT:IFRFT:FRFT为无条件的.')]'()'([),('2*dtetttzftSTFTftjzdtdfetugftSTFTupfujz2)(),()(1)()(*dttgtdttxutKutxFuXppp)(),()(([{)()]}duutKuXtxpp),()()(202020/6/1电信工程学院二.FRFT的基本概念传统Fourier变换的性质1.线性F[anf(t)]=anF[f(t)]2.卷积定理F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]•F[g(t)]3.时域相关性定理Rf1f2=f1()f2*(t-)dF[Rf1f2]=F[f1(t)]F*[f2(t)]4.时移特性F[f(t-t0)]=F[f(t)]e-jwt05.频移特性F[f(t)ejwt0]=F(w-w0)6.尺度变换特性F[f(at)]=F(w/a)/|a|7.Parseval关系||f(t)||2dt=||F(f)||2df8.时域微分特性F[df(t)/dt]=jwF(w)9.频域微分特性F[(-jw)f(t)]=dF(w)/dw212020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质线性性质Fp[c1f(t)+c2g(t)]=c1Fpf(t)+c2Fpg(t)FRFT为线性变换,因而它满足叠加原理,这是一个非常好的性质,我们知道Wigner-Ville分布由于它仅满足二次叠加原理,它的时频分布存在自频率分布(信号项)和互频率分布(交叉项),许多文章都在怎么消除掉交叉项提出看法,FRFT的线性叠加原理保证了仅有信号项,没有交差项,所以用它实现滤波具有更好的效果。222020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质旋转相加性FRFT可以反复地进行下去,直到满意为止。两个特例:pp+1对应FFTpp-1对应IFFTqpqpFFF232020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质连续性当p1,p2,c1,c2为任意实数时,FRFT满足连续性Fc1p1+c2p2f(t)=Fc1p1Fc2p2f(t)=Fc2p2Fc1p1f(t)由旋转相加性,可见连续性显然。自成像FRFT为p/4取余的恒等运算,因而p的取值范围可以为[-2,+2]或[0,4].)]([)]([)]([11111144tfFtfFFtfFpcpcpc242020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质卷积函数f和g在p分数阶的卷积称为分数阶卷积P域的卷积对应于p+1或p-1域的乘积相乘函数f和g在p分数阶的乘积称为分数阶乘积P域的乘积对应于p+1或p-1域的卷积)(*)(][*][ppppppxgxfgFfFgfgfgfppp11*)()(][][apppppxgxfgFfFgfgfgfppp**11252020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质时移特性(FT:[f(t-t0)]=F[f(t)]e-jwt0)时间函数x(t)时延后,x(t-)的分数阶Fourier变换频移特性(FT:F[f(t)ejwt0]=F(w-w0))时间函数x(t)乘以一个频移函数后的FRFT.sincossin22)cos()]([jurjppeuXtxFcoscossin22)sin(])([jurjpjvtpevuXetxF262020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质尺度特性(FT:F[f(at)]=F(w/a)/|a|)=arctan(c2tan)=q/2时间函数x(t)的时间尺度发生变化时,FRFT的变化情况。在传统的Fourier变换中,时间变量t的变化只是使其频谱的频率变量w的其的尺度和幅度发生相应的变化,而在FRFT中,时间变量t的变化不仅使FRFT的变量u发生尺度和幅度的变化,更重要的是旋转角度也发生变化。)sinsin(cotcot1)]([)coscos1(cot22222cuxejcjctxFqujp272020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质尺度特性的图示说明282020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质Parseval关系定理:Parseval等式成立的充要条件为E={en:n∈N}为Hilbert空间中的标准正交系。由FRFT核函数的性质可知,它显然满足定理中要求的条件,所以,在FRFT中,Parseval等式成立FRFT的能量保持性:信号x(t)的功率谱|X(w)|2信号x(t)的分数阶功率谱|Xp(u)|2duuXdttxp22)()(292020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质倍乘性其中D=d/dt为微分算子微分性混合乘积律)]([])2sin()2cos([)]([tfFDpjpttftFpmmp)]([])2cos()2sin([)]([tfFDppjttfDFpmmp)]([})2cos()2sin()2cos()2sin()]2cos()2[sin({)]()[(22tfFDppjDptppjtptftDFPmmP302020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质移位律指数律)]2cos([)]([)]}2cos(5.0[2sin{pqtfFetfSFppqtpjqqp)()]([qtftfSq)]2sin([)]([)]}2sin(5.0[2cos{pqtfFetfeFppqtpjqjqtp312020/6/1电信工程学院三.分数阶Fourier变换的基本性质分数阶Fourier变换的一些典型性质322020/6/1电信工程学院四、一些常见信号的FRFT变换332020/6/1电信工程学院五.分数阶Fourier变换的计算方法信号分解法(=p/2=csc)步骤:1.将函数f(x)与
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