5.3二次曲线的切线汇总

§5.3二次曲线的切线定义5.3.1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点.规定：如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线。直线上的每一点都可以看作切点.现在我们来求经过二次曲线22111122132333(,)2220Fxyaxaxyayaxaya(1)的直线总可写成切线方程上的点的切线方程.因为通过(2)那么根据§5.1的讨论,知道直线(2)与二次曲线(1)的交点的参数满足00(,)xy00(,)xy00,.xxXtyyYt210020000(,)2[(,)(,)](,)0,XYtFxyXFxyYtFxy容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，210020000[(,)(,)](,)(,)0XFxyYFxyXYFxy因此0),(YX当时),(00yx因为在(1)上，0),(00yxF所以；(3)(,)0XY00(,)xy00(,)0Fxy100200(,)(,)0.XFxyYFxy如果与不全为零，那么得：100(,)Fxy200(,)Fxy(3)200100:(,):((,)),XYFxyFxy当时，直线(2)成为二次曲线(1)的切线的条件除了外，唯一的条件仍然是(3).(,)0XY00(,)0Fxy200100:(,):((,)),XYFxyFxy因此过的切线方程为00(,)xy02000100(,),(,),xxFxytyyFxyt或写成或解法一因为且01000200()(,)()(,)0.xxFxyyyFxy例1求二次曲线的点的切线方程.222430xxyyxy(2,1)(2,1)4214430,F15(2,1)0,2F2(2,1)20,F),(),(00100020yxFyyyxFxx即15(2,1),2F2(2,1)2,F(2,1)0,F奇点如果那么(3)变为恒等式，(3)从而切线不确定，100200(,)(,)0,FxyFxy切线的方向不能唯一地被确定,:XY01000200()(,)()(,)0.xxFxyyyFxy5(2)2(1)0,2xy5460.xy所以是二次曲线上的正常点，因此得在点的切线方程为(2,1)(2,1)我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这时通过的任意直线都和二次曲线相交于相互重合的两点，210020000(,)2[(,)(,)](,)0,XYtFxyXFxyYtFxy奇点:00(,)xy定义5.3.2二次曲线上满足条件的点叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；100200(,)(,)0FxyFxy二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.00(,)xy100200(,)(,)0,FxyFxy定理5.3.1每一条直线都是二次曲线的切线.(3)正常点才能用),(00yx如果是二次曲线的正常点，00(,)xy),(00yx如果是二次曲线的奇异点，00(,)xy那么通过的切线方程是(3)，是它的切点.00(,)xy00(,)xy),(00yx那么通过的切线不确定，),(00yx或者说通过点的00(,)xy00(,)xy01000200()(,)()(,)0.xxFxyyyFxy(5.3-4)对比公式(5.3-4)便于记忆，记忆的方法是在原方程(1)中，把写成就得出(5.3-4).推论如果是二次曲线的正常点，那么通过的切线方程是00(,)xy00(,)xy110120022013023033()()()0axxaxyxyayyaxxayya22111222132333(,)2220Fxyaxaxyayaxaya22222xxyyxyxxxyxyyyxxyy000000xxxyxyyyxxyy然后每项中的一个或用或代入后，写成xy0x0y证把(5.3-3)改写为10020001000200(,)(,)[(,)(,)]0xFxyyFxyxFxyyFxy再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为(5.3-5)(5.3-3)即从而得(5.3-4).123(,)(,)(,)(,)0FxyxFxyyFxyFxy01000200()(,)()(,)0.xxFxyyyFxy100200300(,)(,)(,)0.xFxyyFxyFxy110120131202202313023033()()()0,xaxayayaxayaaxaya所以点不在曲线上,)2,0(解法一所以不能直接应用公式(5.3-3)或(5.3-4).因为利用切线定义来做.例2求二次曲线通过点的切线方程.2210xxyy(0,2)(0,2)3,F,2,xXtyYt因为过点的直线可以写成(0,2)其中为参数，为直线的方向数.又因为t,XY所以根据直线与二次曲线的相切条件(5.3-1)得化简得从而有210020000(,)2[(,)(,)](,)0,XYtFxyXFxyYtFxy,2,YtyXtx即:1:211.XY或：1(0,2)1,F2(0,2)2,F222[2]3()0,XYXXYY2220,XXYY(2)()0.XYXY再由过点的直线方程得(0,2)消去参数得,022yx,02yx这两直线的方向分别为1:2与1:(-1)，显然它们都不是已知二次曲线的渐近方向，所以这两直线就是所求的过点的切线.)2,0(,22,xtyt或,2,xtyt或设过的切线与二次曲线相切于解法二)2,0(),(00yx那么切线方程为00001()10,2xxxyxyyy即(3)因为它通过,所以满足方程,将代入化简得)2,0()2,0()2,0((4)另一方面点在曲线上，所以又有),(00yx(5)00001()10,2xxxyxyyy00001110,22xyxxyy00210,xy22000010,xxyy联立解(4),(5)得切点坐标;0,100yx与.1,100yx将切点坐标代入(3)得所求的切线方程为与,01200yx,01200020yyxx(4)(5)220xy20.xy作业:第200页.1.(1),(2).