第四章-控制系统的传递函数(1)

stnknnsstsmiiiesBsAssdsdnesBsAtfki)()()(lim)!1(1)(')()(111nppnkpmiiisskssksBsAsF1111)()()(issiisssFk))((kssnksssFk))((11kssnkpppsssFdsdpk))(()!1(1111直接求解法查表法②留数法系数的求法:①系数比较法例6已知求f(t))42)(2(823)(22sssssssF解：函数有两个单极点0、-2和一对共轭复根，故将函数展开为422)(2222121ssksksksksF首先用留数法求k1、k201)(sssFk022)42)(2(823ssssss1若出现共轭复数极点应怎样办？可当作两个单极点，也可作一些特殊处理假设F(s)分母含有的项，其中Lqpss)(.2042qp那么展开时增加下列各项：...)()(12323122221LLqpssKsKqpssKsK22)2)((sssFk222)42(823ssssss242221)(22221ssksksssF将k1、k2代回F(s)得再用比较系数法求k21、k22，对上式去分母并整理得82)2()1(82322222213212skskkskss得联立方程0121k322221kk2222k{121k122k{22311221ssss421221)(2ssssssFteyyy3'2求方程满足初始条件1)0(',0)0(yy的解)()]([sYty解设根据微分定理对两边取拉氏变换11)(3)]0()([2)]0(')0()([2ssYyssYysysYs将初始条件代入得11)(3)(21)(2ssYssYsYs12]32)[(2sssssY)1)(32(2)(2sssssY)1)(1)(3(2ssss113321sKsKsK（1）31)3)((sssYK8112)1)((sssYK8313)1)((sssYK41把K1、K2、K3的值代回（1）式得114111833181)(ssssY对上式求拉氏反变换得ttteeety418381)(3第一节典型环节传递函数第四章控制系统的传递函数1.传递函数的概念传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分析与综合的重要数学工具。•更直观，物理意义更明确；•实数域里的微积分变为复数域里的代数运算；•直接导出系统的某些动态特性；•频域法是在传递函数的基础上直接推导出来的。因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的拉氏变换。定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。即，)()()(sXsXsGio特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)关于传递函数的几点说明(1)传递函数是在拉氏变换的基础上导出的,拉氏变换是一种线性积分变换,因此,传递函数的概念只适用于线性定常系统.(2)传递函数是描述系统动态特性的一种数学模型,但它是在系统工作在某个相对静止状态时得出的.因为传递函数是在零初始条件下定义的,因此,传递函数原则上不能反应系统在非零初始条件下的全部运动规律.(3)传递函数只表示输出量与输入量的关系,是一种函数关系.这种函数关系由系统的结构和参数所决定,与输入信号和输出信号无关.这种函数是在信号传递的过程中得以实现的,所以称为传递函数.(4)传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系,所以只适用于单输入单输出系统的描述,而且系统内部中间变量的变化情况,2.传递函数的性质①传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及性质无关；即②传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数；③传递函数可以有量纲，也可以无量纲；④传递函数是s的有理分式；⑤若传递函数分母s的最高阶次为m，则该系统为m阶系统mmmmnnnniobsbsbsbasasasasXsXsG2211022110)()()(一般地,传递函数的表达式为......)(2211ioioXXXXsG3.典型环节传递函数系统总是由各种元件组成，这些元件可能是机械的、液压的、热力学的，也可能是电气的、光学的，或者几者兼而有之。不管这些元件的属性如何，只要其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。如果把系统的元件按其运动方程(微分方程)的形式来分类，就得到各种不同的动态环节,简称环节。这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。①比例环节凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P调节器。比例环节运动方程为xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为)()()(sXsXsGiok为比例环节的增益或称为放大系数k例1解求一对齿轮传动的传递函数忽略传动间隙z1z2ni(t)no(t)ionnkzz21∴G(s)=k求右图运算放大器的传递函数例2)()()(sEsEsGiokRR12eieoR1R2i1i2i3-+aeaKoi1=i221ReeReeoaai21ReReoik—运算放大器的闭环增益ooaKee6410~1010~伏多数伏注意：增益k前面的符号一律先取正号，带全部求解结束后，再确定k的符号；称脚端a为虚地点②微分环节例3求图示微分电路的G(s)解凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调节器。运动方程为dttdxTtxio)()(因此传递函数为：UiUoiiouuidtc1Ruio{ioouudtuRc1)()()(1sUsUsURcsioo1TsTsTs1)(RcsRcssGG(s)=TSTs«1xo(t)xi(t)qRp1p2AK求图示液压阻尼器的传递函数,并判断属于什么环节)()(12tKxppAoRppq12dtdxdtdxAqoi解ooiKxdtdxdtdxRA2)()(2ssXRAKssXioRAKsssG2)(TKRA21)(TsTssG令Ts«1假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲，这在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时，则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。理想的微分环节是不存在的，微分环节不能单独存在。③积分环节凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为I调节器。运动方程为因此传递函数为：dttxTtxio)()(n(t)xo(t)D例4右图为一齿轮齿条传动机构。n(t)为输入转速，xo(t)为线位移。求该传动机构的传递函数。解：根据传动关系有dtdxoDn)()(sDNssXosDsG)(但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则Dntvo)()()(sDNsVoDsG)(G(s)=T/S例5下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。解：uiuoRuci-+CUi(s)Uo(s)RI-+Zcidtcuc1cssIsUc)()(csZc1Rcs1RZsGc)(sKRcK1对各变量取拉氏变换④惯性环节凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。运动方程为iooKxxdtdxT因此传递函数为：1)(TsKsGK—惯性环节的增益；T—惯性环节的时间常数例6求右图电路的G(s)。uiuoiRC解：iccouzRzu)()(sUZRZsUicco11)(RcsZRZsGcc如果Rcs»1，则G(s)=1/Rcs=1/TscsZc1UiUoI例7下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。解：uiuoR1R2-+CZ=R2∥Zc=R2∥1/cs=R2/(R2cs+1))(sG1RZ11212csRRR12RRKcRT2Ui(s)Uo(s)R1IZ-+⑤二阶环节和振荡环节凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二阶环节。运动方程为iooooKxxdtdxTdtxdT22两边取拉氏变换得)()()()(2sKXsXssXTsXTsioooo)(sG2222nnnssK12sTTsKoTn1TTo12——环节的固有频率——环节的阻尼比其中，如果0≤ξ1，二阶环节称为振荡环节阻尼（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性阻尼模型，是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。本课程也主要涉及粘性阻尼模型。临界阻尼和阻尼比相关概念1临界阻尼定义：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。（当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又能最快地回到平衡位置的情况，称为“临界阻尼。）2结构的阻尼系数C是结构在每一振动循环中消耗能量大小的度量，其量值可能在很大范围内变化，由于结构的阻尼往往靠试验得到，采用阻尼系数C不利于对结构阻尼进行合理判断和对不同结构间阻尼大小的比较。3阻尼比ζ=常用来表示结构阻尼的大小。例7图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.Xi(t)Xo(t)mck求G(s)依动力平衡原理有ioookxkxdtdxcdtxdm22)()()()(2skXskXscsXsXmsiooonmkmkc2kcsmsksG2)({22222mksmkmkcsmkf(t)Xo(t))(22tfkxdtdxcdtxdmooo)()()()(2sFskXscsXsXmsoookcsmssG21)(222221mksmkmkcsmkknmkmkc2{上例中，如果输入量为外力f(t),则系统的固有频率和阻尼系数为多少LiRCuiuo求下图的传递函数ZLI(s)ZUi(S)Uo(S)ZL=LsZ=R//1/csZZZsUsUsGLio)()()(RLsLRCsR22222nnnss⑥延时环节凡输出量滞后于输入量一个时间τ，但不失真地反映输入量的环节。运动方程为xo(t)=xi(t-τ)sesG)(sioesXsX)()(t01xi(t)=1(t)t01t01注意延时环节和惯性环节的区别例：见P26图2-32①比例环节xo(t)=kxi(t))()()(sXsXsGiok②微分环节dttdxTtxio)()(G(s)=TS③积分环节G(s)=T/SdttxTtxio)()(④惯性环节iooKxxdtdxT1)(TsKsG⑤二阶环节和振荡环节iooooKxxdtdxTdtxdT22)(sG2222nnnssKxo(t)=xi(t-τ)sesG)(⑥延时环节小节作业:iuiuoR1R2iuiuoCRL求下图两个系统的传递函数求右图油缸-阻尼-弹簧系统的传递函数.其中，p为输入，xo为输出。pcKxoAC1C2R1R2uiuoC1C2K2K1xixo证明下面两个系统是相似系统选做题求右图油