复变函数与积分变换第五章

第五章留数理论及其应用1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则§5.1留数(Residue)的奇点所围成的区域内含有)(zfC0z一、留数的引入C设C为区域D内包含的任一条正向简单闭曲线0z)(fdzzc未必为0,0,z所围成的区域内解析在)(Cf=0z.的某去心邻域:0()fzz在00zzR解析D内的Laurent展式:)(zfRzz00在12=iczzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010=CCnnzzzczzzcd)(d)(1010Czzfd)(0(P49例3.3)0(柯西-古萨基本定理)i201010)()()(czzczzczfnn=nnzzczzc)()(001定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0去心邻域内的罗朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]。由留数定义,Res[f(z),z0]=c–1(1))2()(21]),([Re10dzzficzzfsc==故1Laurentc是积分过程中唯一残留下来的系数,zzficCd)(211=即——综上，的系数01)(zz展式中负幂项Laurent二、利用留数求积分1.留数定理设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则12πRes[(),]nkkifzz==dzzfc)(Dz1z2z3znC1C2C3CnC证明zzfizzfizzfinCCCd)(21d)(21d)(2121两边同时除以得，i2如图,由复合闭路原理=zzfCd)(1)(CdzzfdzzfC2)(dzzfnC)(12Res[(),]Res[(),]Res[(),]nfzzfzzfzz==zzfCd)(12πi12πRes[(),].nkkifzz==dzzfc)(即求沿闭曲线C积分求C内各孤立奇点处的留数.注1(1)如果0z为)(zf的可去奇点,0Res[(),]0.fzz=一般规则说明：2.留数的计算规则成Laurent级数求.1c(2)如果0z为的本性奇点,)(zf)(zf展开则需将(3)如果0z为的极点,)(zf则有如下计算方法：1)应用Laurent展式2)求n级极点的一般方法(求导运算)1)应用Laurent展式例5.151Re[,0].zesz求解5511zezz=2345(12!3!4!5!zzzzz)143211111111,2!3!4!5!zzzz=;0z511Re[,0].4!zesz=所以如果为的级极点,0z)(zfm)].()[(ddlim)!1(1]),(Res[01100zfzzzmzzfmmmzz=•规则2那末).()(lim]),(Res[000zfzzzzfzz=如果为的一级极点,那末0z)(zf•规则12)求n级极点的一般方法（当m=1时就是规则1)•规则3如果,0)(,0)(,0)(000=zQzQzP设,)()()(zQzPzf=)(zP及)(zQ在0z都解析，那末0z为的一级极点,)(zf.)()(]),(Res[000zQzPzzf=且有解2coszzz=因为的一级极点,Re[,]cos2zsz所以'2|(cos)zzz==2sin()2=.2=例2Re[,].cos2zsz求=22)1(25:zdzzzz计算例3解102)1(25)(2====zzzzzzzf和一个二级极点极点的内部有一个一级在2)1(25lim)(lim]0),([Re200===zzzzfzfszz1由规则})1(25)1{()!12(1lim]1),([Re221=zzzzdzdzfsz2由规则22lim)'25(lim211===zzzzz0]1),([Re2]0),([Re2)(2===zfsizfsidzzfz2:14=zcdzzzc正向计算例2解内，都在圆周个一级极点有cizf,1:4)(32()13'()44PzzQzzz==由规则0414141412]}),([Re]),([Re]1),([Re]1),([{Re214===iizfsizfszfszfsidzzzc故.2:,d)1(sin22正向计算=zCzzzzC思考题思考题答案22sin1.i=13coszdzzz计算例3解的三级极点有一个0cos)(3==zzzzfiizfsidzzzz====)21(2]0),([Re2cos132320021Re[(),0]lim[()](31)!11lim(cos)''22zzdsfzzfzdzz===由规则　　(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。6sin)()()(zzzzQzPzf==,)(001cos)0('0sin)0(0)cos1()0('0)0(000的三级零点是由于zpzzpzpzppzzz===========如是f(z)的三级极点。630sin1sin2Re,0lim(31)!zzzzzszz=由规则:)(级数展开作若将Laurentzf!510,sinRe6=zzzs==zzzzzzzzzz1!511!31)]!51!31([1sin35366---该方法较规则2更简单！注意积分路线取顺时针方向三、在无穷远点的留数1=c1]),(Res[=czf说明记作=Czzfizfd)(21]),(Res[1.定义设函数)(zf在圆环域zR内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，1()d2Cfzzi称积分的值为()fz在点的留数，=Czzfid)(21....1z.2z.kz.证=nkkzzfzf1]),(Res[]),(Res[=CCzzfizzfid)(21d)(211.0=由留数定义有:(绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线)C包含在2.定理如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.)(zf[证毕]说明:由定理得],),(Res[]),(Res[1==zfzzfnkk==nkkCzzfizzf1]),(Res[2d)((留数定理)].),(Res[2=zfi计算积分计算无穷远点的留数.zzfCd)(优点:使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数)3.在无穷远点处留数的计算•规则4=0,11Res]),(Res[2zzfzf说明:定理5.2和规则4提供了计算函数沿闭曲线=0,11Res2d)(2zzfizzfC积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周:.=z,1=z令,,iireez==并设,,1==r那末于是有=Czzfizfd)(21]),(Res[=π20d)(π21iiieefi证.d1π21π20=iireirefi2π20111d2π()iiifreirere===12d11π21fi.)1(为正向=内除在1=0=外无其他奇点..0,11Res2=zzf[证毕]例5计算积分Czzz,d14C为正向圆周:.2=z函数14zz在2=z的外部,除点外没有其他奇点.Czzzd14=0,11Res22zzfi=),(Res2zfi=0,1Res24zzi.0=解根据定理5.2与规则4:与以下解法作比较:被积函数14zz有四个一级极点i,1都在圆周2=z的内部,所以Czzzd14]1),(Res[]1),(Res[2=zfzfi]),(Res[]),(Res[izfizf由规则3,414)()(23zzzzQzP==Czzzd14.0414141412==i可见,利用无穷远点的留数更简单.例6计算积分Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周:.2=z解除)3)(1()(1)(10=zzizzf被积函数点外,其他奇点为.3,1,i由于i与1在C的内部,Czzizz)3)(1()(d10]}1),(Res[]),(Res[{2zfizfi=]}),(Res[]3),(Res[{2=zfzfi=0)3(21210ii则]),(Res[izf]),(Res[zf所以]1),(Res[zf]3),(Res[zf.0=.)3(10ii=§5.2留数在定积分中的应用11.()2Re[(),]nkkRxdxisRzz==()()()PxRxQx=12.()2Re[(),],(0)nixizkkRxedxisRzez==其中注意:对的要求,分母Q(x)次数比分子P(x)至少高两次，是函数在上半平面内的有限个孤立奇点；()Rxkz()Rz注意:对的要求,分母比分子至少高一次，是函数在上半平面内的有限个孤立奇点；()Rx()Rzkz思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条2013.(cos,sin)2Re[(),]nkkRdisfzz==注意：其中是函数在单位圆内的有限个孤立奇点。kz)(zf形如iez=令ddiiez=,ddizz=)(21siniieei=,212izz=)(21cosiiee=,212zz=当历经变程]π2,0[时,π20d)sin,(cosR1=z的正方向绕行一周.z沿单位圆周d)sin,(cosπ20RizzizzzzRzd21,21122==zzfzd)(1==z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点..),(Resπ21==nkkzzfi.dsin21dsin0xxxxxx=例5.1计算积分.dsin0xxx分析所以是偶函数,sinxxzzsin某封闭曲线,因zzsin在实轴上有一级极点,0=z应使封闭路线不经过奇点,所以可取图示路线:xyoRCrCrRrR解,0dddd=xxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封闭曲线C:RrCrRCrR,,由柯西-古萨定理得:ttexxerRitrRixdd=,dxxeRrix=，令tx=,2sinieexixix=由,0dddsin2=rRCizCizRrzzezzexxxi知szezzeRRCizCizddseRRCyd1==π0sindeRd22π0sin=Red22π0)π2(Re),1(ReR=R于是0dzzeRCiz充分小时，当r=!!3!2)(12nziizzizgnn当充分小时,总有z,2)(zgdd0π=iiCreirezzr,=i,d)(d1d=rrrCCCizzzgzzzze=!!211nzizizzenniz因为),(1zgz=szgzzgrrCCd)(d)