《垂径定理的四种应用技巧》方法技巧训练课件(共13张PPT)

阶段方法技巧训练（一）专训2垂径定理的四种应用技巧习题课垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．1技巧巧用垂径定理求点的坐标1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN⊥CD，∴CN＝DN＝CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴点C的坐标为(1，3)．解：2222543CMCN-=-=.122技巧巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．解：如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7.即PA＋PC的最小值为7.22本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．3技巧巧用垂径定理计算3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．3解：(1)连接AC，∵CD为⊙的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB.∴AB＝BC＝2.3(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝，易得OA＝2，即⊙O的半径为2.3124技巧巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？解：如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝AB＝3.6米．12在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝＝3.6(米)．所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．22223.91.5ONNH-=-