73幂级数

返回上页下页目录2020年6月2日星期二1第三节幂级数第八章（PowerSeries）一、幂级数的概念二、幂级数的运算性质三、函数的幂级数展开式四、小结与思考练习返回上页下页目录2020年6月2日星期二2一、幂级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有0x称为其收0x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.返回上页下页目录2020年6月2日星期二3为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它返回上页下页目录2020年6月2日星期二4它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或写作.1x又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数例如,等比级数返回上页下页目录2020年6月2日星期二52、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数1,110xxxnn为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称返回上页下页目录2020年6月2日星期二6ox发散发散收敛收敛发散若幂级数0nnnxa则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M0,使定理(Abel定理)返回上页下页目录2020年6月2日星期二7当时,0xx收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当0xx时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0x满足不等式0xx所以若当0xx满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00证毕返回上页下页目录2020年6月2日星期二8幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,,0R幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(－R,R)称为收敛区间.ox发散发散收敛收敛发散返回上页下页目录2020年6月2日星期二9xaaxaxannnnnnnn111limlim的系数满足;1R;R.0R证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.即1x时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则1x定理1若返回上页下页目录2020年6月2日星期二102)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除x=0以外的一切x原级发散,.0R对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R返回上页下页目录2020年6月2日星期二11对端点x=－1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域.解:11nn1对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散..]1,1(故收敛域为limn例1求幂级数返回上页下页目录2020年6月2日星期二12例2求幂级数nnnxn1的收敛半径．解因为11(1)1limlimlim(1)(1).nnnnnnnnannann所以收敛半径0R．例3求幂级数0!nnnx的收敛半径．解因为1!1limlimlim0,(1)!1nnnnnanann.R返回上页下页目录2020年6月2日星期二13例4求下列幂级数的收敛域：(1)11)1(nnnnx；(2)nnnxn1；(3)0!nnnx．解(1)由例1知，收敛半径1R，所以该级数的收敛区间为(－1，1)。当1x时，级数成为交错级数111)1(nnn，收敛．当1x时，级数成为级数11nn，发散．所以该级数的收敛域为1,1．返回上页下页目录2020年6月2日星期二14例4求下列幂级数的收敛域：(1)11)1(nnnnx；(2)nnnxn1；(3)0!nnnx．解(2)由例2知，收敛半径0R，所以级数没有收敛区间，收敛域为0xx，即级数仅在0x处收敛．(3)由例3知，收敛半径R，所以该级数的收敛区间为),(．返回上页下页目录2020年6月2日星期二15的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2]!)1([!])1(2[nn2]![!]2[nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散故收敛半径为.21R142x当)1(2nxnx2故直接由例5返回上页下页目录2020年6月2日星期二16的收敛域.（补充题）解:令级数变为nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为即.31x例6自学课本例5返回上页下页目录2020年6月2日星期二17二、幂级数的运算性质定理3设幂级数及的收敛半径分别为,,21RR令)(0为常数nnnxa1Rx,,min21RRRnnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx,0nnnxcRx则有:nnnnnnxbxa00其中以上结论可用部分和的极限证明.返回上页下页目录2020年6月2日星期二18两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设),2,1,0,1(0naan,3,2,0,1,110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nxxx21其收敛半径只是.1R说明:返回上页下页目录2020年6月2日星期二19的收敛半径(证明略)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.定理4若幂级数返回上页下页目录2020年6月2日星期二20例7求下列级数的和函数(1)101nnxn；(2)210(1)21nnnxn．解(1)设和函数为)(xs，则)(xs＝011nnnx两端求导，并由)1,1(,1112xxxxxn得xxnxxsnnnn111)(001.返回上页下页目录2020年6月2日星期二21对上式从0到x积分，得01()ln(1),(1,1)1xsxdxxxx当10(1)1,1nnxn时收敛，所以10ln(1),[1,1).1nnxxxn返回上页下页目录2020年6月2日星期二22例7求下列级数的和函数(1)101nnxn；(2)210(1)21nnnxn．解(2)设和函数为)(xs，则210()(1)21nnnxsxn两端求导得)1,1(,11)()1()(20220xxxxxsnnnnn返回上页下页目录2020年6月2日星期二23对上式从0到x积分，得201()darctan,(1,1)1xsxxxxx当1x时，01(1)21nnn收敛；当1x时，0121)1(nnn收敛，所以210(1)arctan,1,121nnnxxxn返回上页下页目录2020年6月2日星期二24的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,01)(nnnxxSxnnxxx00d1xxxx0d111)10(x及收敛,0111nnnxx例8求级数返回上页下页目录2020年6月2日星期二25)1,0()0,1[x)(xS因此由和函数的连续性得:)(xS而,1)1(lnlim0xxx,)1ln(1xx,10x)10(x及返回上页下页目录2020年6月2日星期二26*常用的简单幂级数的和函数;11)1(0xxnn;11)1()2(202xxnnn;1)3(202xaaxnn;!)4(0xnnenx;sin)!12()1()5(1121xnxnnn).1ln(1)1()7(01xnxnnn;cos)!2()1()6(02xnxnnn18/23返回上页下页目录2020年6月2日星期二27内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.返回上页下页目录2020年6月2日星期二282.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.课外练习习题7－3返回上页下页目录2020年6月2日星期二29思考练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为返回上页下页目录2020年6月2日星期二302.在幂级数中,nnaa1nn)1(2)1(2211n为奇数,23n为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在?答:不能.因为nnnxu)(lim2)1(2limxnnn当时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立返回上页下页目录2020年6月2日星期二313.求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则返回上页下页目录2020年6月2日星期二33三.函数的幂级数展开式第七章两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:1、泰勒(Taylor)公式3、函数展开成幂级数2、泰勒(Taylor)级数返回上页下页目录2020年6月2日星期二34一、泰勒公式特点:)(0xf)(0xf)(xfxy)(xfyo000()()()fxfxxx以直代曲0x)(1xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx的一次多项式返回上页下页目录2020年6月2日星期二35并要求它的系数满足:,)(0xf,)(0)(xfn故)(xpn0()fx00()()xxfx!21!1n)0(0()()nnxxxf1!n020()()fxxx12!令)(xpn则)(xpn)(xpn)()(xpnn,)(0xf,)(0xf)(202xxa10)(nnxxan20)()1(nnxxann0a001202()()()nnxxxxaaxxa1.求n次近似多项式返回上页下页目录2020年6月2日星期二36)0(之间与在nx)()(10nnxxxR)(2)1()(0)(xnRnnnn()()()nnRxfxpx令(称为余项),)(0xRn)(0xRn0)(0)(xRnn10()()nn