概率论与数理统计电子教案

第一章随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.§随机事件一、随机试验1确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。在正常的大气压下，将纯净水加热到100℃时必然沸腾,向上抛一石子必然下落，异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥等2随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点,抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果.3随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.4.随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象的观察称为随机试验,并简称为试验，记为E.5.随机试验具有下列特点:1.可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性:试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3.随机性(不确定性):每次试验出现的结果事先不能准确预知.，但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.二、随机事件1.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点,记作.2样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为.(或S)．即12,,,,n例1:1E：投掷一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况，则样本空间为1,HT．2E：将一枚硬币连抛两次，观察正面H，反面T出现的情况，则样本空间为2,,,HHHTTHTT．3E：将一枚硬币连抛两次，观察正面Ｈ出现的次数，则样本空间为30,1,2．4E：记录某电话台在一分钟内接到的呼叫次数，则样本空间为40,1,2,．5E：已知某物体长度在10与20之间，测量其长度，则样本空间为51020ll．6E：在一大批灯泡中任取一只，测试其使用寿命，则样本空间为60tt．注：：1)在4E中，虽然一分钟内接到电话的呼叫次数是有限的，不会非常大，但一般说来，人们从理论上很难定出一个次数的上限，为了方便，视上限为∞，这种处理方法在理论研究中经常被采用．2)样本空间的元素是由试验的目的所确定的，如2E和3E中同是将一枚硬币连抛两次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样．3随机事件：我们称试验E的样本空间的子集为E的随机事件，简称事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.一般用,,,ABC，…等大写字母表示事件．设A为一个事件，当且仅当试验中出现的样本点A时，称事件A在该次试验中发生．如：在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一个随机事件，可用A｛正面向上｝表示．掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点，可用B＝｛2，4，6｝表示．注:要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才能知道．1)基本事件：仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.如:抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”,...,“出现6点”为该试验的基本事件．2)必然事件：．样本空间本身也是的子集，它包含的所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件．即必然发生的事件.如：“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件.3)不可能事件：．空集也是的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件．不可能发生的事件是不包含任何样本点的.如：“掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件.三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的.,AAAAABABABABABABABABABABABABABABABABABAB记号概率论集合论样本空间必然事件全集不可能事件空集基本事件元素事件子集的对立事件的余集事件发生导致发生是的子集事件与事件相等与的相等事件与事件至少有一个发生与的并集事件与事件同时发生与的交集事件发生而事件不发生与的差集事件和事件互不相容与没有相同的元素1子事件、包含关系ABAB事件是事件的子事件AB含义：事件发生必然导致事件发生,2相等事件AB:若事件Ａ发生必然导致事件B发生，且若事件B发生必然导致事件A发生，即BAAB且A=B注：事件A与事件B含有相同的样本点例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”与事件“出现2，4或6点”是相等事件。3和事件或并事件{}ABxxAB或x，ABAB事件是事件和事件的和事件4、积事件或交事件{}ABxxAB且x，ABAB事件是事件与事件的积事件121nknkAnAAA称为个事件，，，的积事件；121,,,,knkAAAA称为可列个事件的积事件.5、事件的差{}ABxxAB且x，ABAB事件称为事件与事件的差事件ABAB事件发生事件发生而事件不发生.注：ABAAB例如，在例1的2E中，若记{,}AHHTT，{,}BHHHT，则{,,}ABHHHTTT，{}ABHH｝{}ABTT6、互斥或互不相容ABAB则称事件与事件是互不相容的，或互斥的.AB事件A和随机B不能同时发生.注：E任一个随机试验的基本事件都是两两互不相容的.推广：设事件12nAAA，，，满足ijAA(,1,2,,,)ijnij称事件12nAAA，，，是两两互不相容的.7对立事件或互逆事件若事件A和事件B中有且仅有一个发生，即,ABAB则事件A和事件B为互逆事件或对立事件。记A的对立事件为A注:互逆事件必为互斥事件，反之，互斥事件未必为互逆事件事件的关系与运算可用图来直观的表示．注:事件的运算满足如下基本关系．①AAAA，AA②若ＡＢ，则Ａ∪Ｂ＝Ｂ，Ａ∩Ｂ＝Ａ．③Ａ－Ｂ＝Ａ∩B＝Ａ－Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｂ＝Ａ∪（Ｂ－Ａ）．8、完备事件组:设12,,,nAAA是有限或可列个事件,若其满足①,,,1,2,;ijAAijij②12nAAA，则称,,,,21nAAA是样本空间的一个完备事件组或一个划分.注:A与A构成一个完备事件组.四、随机事件的运算规律幂等律:,AAAAAA交换律:,ABBAABBA结合律：ABCABCABCABC分配律:ABCABACABCABAC德摩根DeMorgan定律:,ABABABAB例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件iA表示该射手第i次射击时击中目标（1,2,3i），试用123,,AAA表示下列各事件．（1）前两次射击中至少有一次击中目标；（2）第一次击中目标而第二次未击中目标；（3）三次射击中，只有第三次未击中目标；（4）三次射击中，恰好有一次击中目标；（5）三次射击中，至少有一次未击中目标；（6）三次射击都未击中目标；（7）三次射击中，至少两次击中目标；（8）三次射击中，至多一次击中目标解:分别用,(1,2,,8)iDi表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．（1）112DAA．（2）212DAA或212DAA（3）3123DAAA（4）4123123123DAAAAAAAAA（4）5123DAAA或123AAA（6）6123DAAA（7）7122313DAAAAAA(8)8123123123123DAAAAAAAAAAAA备讲例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：;A(2)“甲中靶而乙未中靶”：;BA(3)“三人中只有丙未中靶”：;CAB(4)“三人中恰好有一人中靶”：;CBACBACBA(5)“三人中至少有一人中靶”：;CBA(6)“三人中至少有一人未中靶”：;CBA或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”：;BCACBACAB(8)“三人中至少两人中靶”：;BCACAB(9)“三人均未中靶”：;CBA(10)“三人中至多一人中靶”：;CBACBACBACBA(11)“三人中至多两人中靶”：;ABC或;CBA注：用其他事件的运算来表示一个事件,方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例3如图所示电路中，A＝“灯亮”，123,,BBB分别表示“开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ闭合”12BBA，13BBA，1213BBBBA这是因为，如果12BB发生，即开关Ⅰ，Ⅱ同时闭合，则整个电路接通，于是灯亮，即Ａ发生，所以12BBA,同理13BBA如果1213BBBB发生，即12BB或13BB中至少一个发生，则整个电路接通，于是灯亮，即Ａ发生，所以1213BBBBA反之，如果Ａ发生，即灯亮，则12BB或13BB中至少有一个发生，所以1213BBBBA1213BBBBA课堂练习1.设当事件A与B同时发生时C也发生,则(C)(A)BA是C的子事件;(B);ABC或;CBA(C)AB是C的子事件;(D)C是AB的子事件.2.设事件A{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则A的对立事件为(D).(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲种产品滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.§频率与概率随机事件A在一次随机试验中是否会发生，事先不能确定，但希望知道它发生可能性的大小．这里先引入频率的概念，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字度量———概率．一、频率及其性质1定义1在相同条件下重复进行了n次试验，如果事件A在这n次试验中发生了An次，则称比值Ann为事件A发生的频率，记作()nfA它具有下述性质:1非负性0()1Afn2规范性()1;nSf3有限可加性21,,,,kAAA是两两互不相容事件则若频率()nfA的大小表示了在n次试验中事件A发生的频繁程度．频率大，事件A发生就频繁，在一次试验中A发生的可能性就大，反之亦然．因而直观的想法是用频率来描述A在一次试验中发生的可能性的大小．2频率的稳定性随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发A生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随机试验次数的增加更加明显,事件的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件A发生可能性的大小，可以规定为事件A的概率二、概率的统计定义定义2对任意事件A，在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生k次，从而事件A发生的频率kn，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p附近摆动,那么称p为事件A的概率()PAp上述定义称为随机事件概率的统计定义．在实际应用时，往往可用试验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着试验次数的增加，估计的精度会越来越高．在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件发生的频率，用以表征事件发生的概率．为此给出概率的严格的公理化定义．三、概率的公理化定义定义3设E是随机试验，是它的样本空间，对E的每一个事件A赋予一个实数，记为()PA，若()PA满足下列三个条件：（1）非负性对每一个事件A，有()0PA；（2）规范性对于必然事件，有()1P（3）可列可加性设12,,AA是两两互不相容的事件，有1212()()()fffAAAA则称()PA为事件A发生的概率．四、概率的性质性质1()0P性质2.有限可加性：设12,,,nAAA是两两互不相容的事件,则有即若ijAA(1)ijn则11()()nniiiiPAPA性质3.对任一随机事件A，有()1()PAPA性质4.设,AB是两个事件,若AB则()()()PBAPBPA