高等代数知识点总结-第三版-王萼芳与石生明编

第四章矩阵知识点考点精要一．矩阵及其运算1.矩阵的概念（1）由sn个数ija（i=1，2…s；j=1,2……n）排成n行n列的数表1111nssnaaaa，称为s行n列矩阵，简记为()ijsnAa。（2）矩阵的相等设()ijmnAa，()ijlkBa，如果m=l，n=k，且ijijab，对i=1，2…m；j=1,2……n都成立，则称A和B相等，记A=B。（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2.矩阵的运算（1）矩阵的加法1111nssnaaaa+1111nssnbbbb=11111111nnsssnsnabababab运算规律：i)A+B=B+Ai)(A+B)+C=A+(B+C)iii)A+O=Aiv）A+(-A)=O（3）数和矩阵的乘法11111111nnssnssnaakakakaakaka运算规律：（k+l）A=kA+lA，k(A+B)=ka+kBk(lA)=(kl)AlA=A.（3）矩阵的乘法111111111111nnnssnssnmmnaabbccaabbcc其中1122........,1,2,....;1,2.....ijijijinnjcabababisjm运算规律：i)（AB）C=A(BC)i)A(B+C)=AB+ACiii)(B+C)A=BA+CAiv）k(AB)=A(kB)=(kA)B一般情况，ABBAAB=AC,A0B=CAB=0A=0或B=0（4）矩阵的转置1111nssnaaAaaA的转置就是指矩阵111'1snsnaaAaa运算规律：i）''()AAii）'''()ABABiii）'''()ABBAiv）''()kAkA（5）方阵的行列式设方阵1111nssnaaAaaA的行列式为1111nssnaaAaa运算规律：i)'AAii)nkAkAiii)ABABBA,这里A,B均为n级方阵。二．矩阵的逆1.基本概念（1）矩阵可逆的定义n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是单位矩阵。（2）伴随矩阵设ijA是矩阵1111nnnnaaAaa中元素ija的代数余子式，矩阵111*1nnnnAAAAA称A的伴随矩阵。2.基本性质（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（0A），而*1AAA（2）如果矩阵A，B可逆，那么'A和AB也可逆，且'11'()()AA111()ABBA(3)设A是sn矩阵，如果P是ss可逆矩阵，Q是nn可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）三．分块矩阵了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。对于两个有相同分块的准对角矩阵100lAAA,100lBBB如果它们相应的分块是同级的，则（1）1100llABABAB（2）1100llABABAB（3）12....iAAAA（4）A可逆的充要条件是12,....iAAA可逆，且此时，111100lAAA四．初等变换和初等方阵1.基本概念（1）初等变换i)用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作()iirkckii)互换矩阵中i，j两行（列）的位置，记作()ijijrrcciii）将第i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作()jijirkrckc称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。（2）初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、2.基本性质（1）对一个sn矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。（2）任意一个sn矩阵A都和一形式为10000100001000000000的等价，它称为矩阵A的标准型，主对角线上1的个数等于A的秩。（3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。（4）两个sn矩阵A，B等价的充分必要条件是，存在可逆的s级矩阵P和可逆的n级矩阵Q，使B=PAQ。3.用初等变换求逆矩阵的方法把n级矩阵A,E这两个nn矩阵凑在一起，得到一个n2n矩阵（AE），用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是1A。第五章二次型知识考点精要1.二次型及其矩阵表示（1）二次型设P是一数域，一个系数在数域P中的12,,.....,nxxx的二次齐次多项式2221211112121122222(,,)222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxax称为数域P上的一个n元二次型。（2）二次型矩阵设12(,,)nfxxx是数域P上的n元二次型，12(,,)nfxxx可写成矩阵形式12(,,)nfxxx'XAX其中x='12(,,)nxxx，A='(),ijnnaAA。A称为二次型12(,,)nfxxx的矩阵。秩（A）称为二次型12(,,)nfxxx的秩。（3）矩阵的合同数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有属于P上可逆的nn矩阵C，使'BCAC2．标准型及规范性定理数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型2221122nndydydy用矩阵的语言叙述，即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22212.....rzzz且规范形是唯一的。定理任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型222211.........pppqzzzz且规范形是唯一的，其中p称为此二次型的正惯性指数，q称为此二次型的负惯指数，2p-q称为此二次型的符号差。3.正定二次型及正定矩阵（1）基本概念i）正定二次型实二次型12(,,)nfxxx称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,...nccc,都有12(,,...)0.nfcccii）正定矩阵实对称矩阵A称为正定的，如果二次型'XAX正定。iii）负定半正定半负定不定的二次型设12(,,)nfxxx是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数12,,...nccc,如果12(,,...)0.nfccc，那么12(,,)nfxxx称为负定的；如果都有12(,,...)0.nfccc那么称12(,,)nfxxx为半正定的；如果都有12(,,...)0.nfccc，那么12(,,)nfxxx称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，那么12(,,)nfxxx就称为不定的。（2）正定二次型，正定矩阵的判定对于实二次型12(,,)nfxxx='XAX，其中A是实对称的，下列条件等价;i)12(,,)nfxxx是正定的，i)A是正定的iii)12(,,)nfxxx的正惯指数为niv）A和单位矩阵合同v）A的各阶顺序主子式大于零第六章线性空间知识点考点精要一．线性空间1.线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算；这就是说，给出了一个法则，对于V中的任意两个元素,，在v中都有唯一的一个元素r和它们对应，称为和的和，记为r。在数域P和集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于P中任意数k和V中任意元素，在V中都有唯一的元素和它们对应，称为k和的数量乘积，记为k。如果加法和数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间。（1）（2）()()(3)在V中有一元素0，对于V中任意元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；（4）对于V中的每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）（5）1;（6）()()klkl（7）()klkl（8）()kkk2．维数，基和坐标（1）如果在线性空间V中有n个线性无关的向量。但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。（2）如果在线性空间V中有n个线性无关的向量12,,.....,n，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而12,,.....,n就是V的一组基。（3）在n维线性空间中，n个线性无关的向量1,2,......,n称为V的一组基。设是V中任一向量，于是1,2,......,n，线性相关，因此可以被基1,2,......,n唯一的线性表出1111......nnaaa，其中系数12,,.....,n称为在基1,2,......,n下的坐标，记（12,,.....,n）.3.基变换和坐标变换（1）设1,2,......,n和,,,12,,....,neee是n维线性空间V中两组基，如果111,,,121,2,1(,,....,)(......,)nnnnnnaaeeeaa矩阵1111nnnnaaAaa称为1,2,......,n到基,,,12,,....,neee的过度矩阵。（2）设1,2,......,n和,,,12,,....,neee是n维线性空间V中两组基，由基1,2,......,n到基,,,12,,....,neee的过度矩阵为A，向量在这两组基下的坐标分别为（12,,.....,nxxx）和,,,12(,,....,)nxxx，则12....nxxx=A'1'2'...nxxx。二．线性子空间1.线性子空间（1）数域P中线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。（2）线性空间V的非空子集W是V的子空间的充分必要条件是W对于V的两种运算封闭。2.子空间的交和和（1）线性空间V的子空间12,VV的交和和，即1212,VVVV都是V的子空间。（2）维数公式如果12,VV是线性空间V的两个子空间，那么维（1V）+维（2V）=维（12VV）+维（12VV）3．子空间的直和（1）设12,VV是线性空间V的子空间，如果和12VV中的每个向量的分解式1211V，22V是唯一的，这个和就称为直和，记为12VV。(2)设12,VV是线性空间V的子空间，下列这些条件是等价的：i）12VV是直和ii）零向量的表示式是唯一的iii）12VV={0}iv）维（12VV）=维（1V）+维（2V）。三．线性空间的同构1.数域P上两个线性空间V和'V称为同构的，如果由V到'V有一个1---1的映上的映射，具有以下性质：（1）()()();（2）()().kk其中,是V中任意向量，k是P中任意数，这样的映射称为同构映射。2.数域P两个有限维数线性空间同构的充分必要条件是它们有相同维数。第七章线性变换知识点考点精要一．线性变换及其运算1.线性变换的定义线性空间V的的一个变换đ称为线性变换，如果对于V中任意元素,和数域P中任意数k，都有đ()=đ()+đ()đ(K)=kđ（）2．线性变换的运算设đ，是数域P上线性空间V的两个线性变换，kP。（1）加法（đ+）（）=đ（）+（）（2）数乘（kđ）（）=kđ（）（3）乘法（đ）（）=đ（（））（4）