第二章练习讲解及递延永续年金

425130011001010101101000101001011问题某人拟购房，开发商提出两种方案：一是现在一次性付80万元；另一方案是5年后付100万元若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？425130011001010101101000101001011•现在一次性付80万元；另一方案是5年后付100万问题方案一的终值：F5=800000（1+7%）5=1122080或F5=800000（F/P，7%，5）=1122080方案二的终值：F5=1000000所以应选择方案二。方案二的现值：P=1000000×（1+7%）-5=1000000×（P/F，7%,5）=1000000×（0.713）=713000＜800000结论：按现值比较，仍是方案2较好425130011001010101101000101001011例题例.某人拟购房，开发商提出两种方案，一是5年后付120万元，另一方案是从现在起每年末付20万，连续5年，若目前的银行存款利率是7%，应如何付款?方案一的终值：F=120（万元）方案二的终值：F=20×（F/A,7％,5）=20×（5.7507）=115.014（万元）425130011001010101101000101001011例.某公司欲在5年后还款1,000,000元，如利率为6％，则每年末应等额在银行存入多少金额？例题已知F=1,000,000i=6％n=5求A?A=F/(F/A,6%,5)=1,000,000/5.6371=177396.18元已知F、i、n,求A，A称为偿债基金；1/(F/A,i,n)称为偿债基金系数。425130011001010101101000101001011例题例.某人拟购房，开发商提出两种方案，一是现在一次性付80万元，另一方案是从现在起每年末付20万元，连续支付5年，若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？方案一的现值：80（万元）方案二的现值：P=20（P/A,7%,5）=20（4.1002）=82（万元）425130011001010101101000101001011例题例.某投资项目现投资额为1,000,000元，如企业资本成本为6％，要求在四年内等额收回投资，每年末至少应收回多少金额？已知P=1,000,000i=6％n=4求A?A=P/(P/A,6%,4)=1,000,000/3.465=288,600.29元已知P、i、n,求A，A称为资本回收额；1/(P/A,i,n)称为资本回收系数。425130011001010101101000101001011例题例.某人拟购房，开发商提出两种方案，一是现在一次性付80万元，另一方案是从现在起每年年初付20万元，连续支付5年，若目前的银行贷款利率是7%，应如何付款？方案一现值：80万元方案二的现值：P=20×（P/A,7%,5）×（1+7%）=87.744万元或P=20×[（P/A,7%,4）+1]=87.744万元425130011001010101101000101001011例题•例.某人拟购房，开发商提出两种方案，一是5年后一次性付120万元，另一方案是从现在起每年年初付20万元，连续5年，若目前的银行存款利率是7%，应如何付款？方案一终值：F=120方案一终值：F=20（F/A,7%,5）（1+7%）=123.065或F2=20[（F/A,7%,6）-1]=123.066425130011001010101101000101001011五、递延年金•递延年金——第一次支付发生在第三期或第三期以后的年金。••递延年金终值•公式：F=A·(F/A,i,n)•递延年金的终值大小与递延期无关，故计算方法和普通年金终值相同。425130011001010101101000101001011某人从第四年末起，每年年末支付100元，利率为10%，问第七年末共支付利息多少？答案：01234567100100100100F=A(F/A,10%,4)＝100×4.641＝464.1（元）例题425130011001010101101000101001011（一）递延年金现值方法一：把递延年金视为n期普通年金，求出递延期的现值，然后再将此现值调整到第一期初。（m为间隔期）=A·(P/A,i,n)·(P/F,i,m)方法二：是假设递延期中也进行支付，先求出(m+n)期的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期(m)的年金现值，即可得出最终结果。=A·［(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)］425130011001010101101000101001011例题•某人年初存入银行一笔现金，从第三年年末起，每年取出1000元，至第6年年末全部取完，银行存款利率为10%。要求计算最初时一次存入银行的款项是多少？•答案：方法一：P=A·(P/A,10%,6)－A·(P/A,10%,2)=1000(4.355-1.736)=2619方法二：P=A·(P/A,10%,6-2)×（1＋10%）-2=1000×3.1699×0.8264=2619.61425130011001010101101000101001011有一项年金，前3年无流入，后5年每年年初流入500万元，假设年利率为10%，现值为（）万元。A．1994.59B．1565.68C．1813.48D．1423.21问题425130011001010101101000101001011有一项年金，前3年无流入，后5年每年年初流入500万元，假设年利率为10%，现值为（）万元。A．1994.59B．1565.68C．1813.48D．1423.21解答P=500×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，2）=1565.68答案：B425130011001010101101000101001011问题某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：(1)从现在起，每年年初支付20万元，连续支付10次，共200(2)从第5年开始，每年年末支付26万元，连续支付10次，共260(3)从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10次，共250假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案?425130011001010101101000101001011解答•解析：方案（1）P=20×［（P/A，10%，9）+1］=20×（5.759+1）=135.18（万元）方案（2）P=26×（P/A，10%，10）（P/F，10%，4）=26×6.145×0.683=109.12（万元）•方案（3）P=25×（P/A，10%，10）（P/F，10%，3）=25×6.145×0.751=115.38（万元）因此该公司应该选择第二方案。425130011001010101101000101001011•永续年金——无限期定额支付的现金•永续年金没有终值，没有终止时间。现值可通过普通年金现值公式导出。•公式：（二）永续年金当n∞时，425130011001010101101000101001011例题例.某项永久性奖学金，每年计划颁发50000元奖金。若年复利率为8%，该奖学金的本金应为（）元。永续年金现值=A/i=50000/8%=625000(元)例.现在向银行存入5000元，在利率为多少时，才能保证在今后10年中每年得到750元。5000=750*（P/A,i,10）（P/A,i,10）=5000/750=6.667425130011001010101101000101001011六、折现率、期间和利率的推算–(一)折现率(利息率)的推算（不用记笔记）–对于一次性收付款项–根据其复利终值(或现值)的计算公式可得折现率的计算公式为：i=(F/P)1/n-1因此，若已知F、P、n，不用查表便可直接计算出一次性收付款项的折现率(利息率)i。永续年金折现率(利息率)i的计算也很方便。若P、A已知，则根据公式P=A/i，变形即得i的计算公式为：i=A/P425130011001010101101000101001011对于年金折现率的推算（较复杂）•普通年金折现率先计算年金现值系数或年金终值系数再查有关的系数表求i，不能直接求得的则通过内插法计算。•例：某公司于第一年年初借款20000元，每年年末还本付息额均为4000元，连续9年还清。问借款利率应为多少？•依据题意：P=20000，n=9；则P/A=20000/4000=5=α。由于在n=9的一行上没有找到恰好为5的系数值，故在该行上找两个最接近5的临界系数值，分别为β1=5.3282、β2=4.9164；同时读出临界利率为i1=12%、i2=14%。所以：425130011001010101101000101001011内插值法公式：%59.13%)12%14(9164.43282.553282.5%12)(121211iiii注意：期间n的推算其原理和步骤同利率的推算相似。425130011001010101101000101001011内插值法的步骤：•1.计算出P/A的值，设其为P/A=α。•2.查普通年金现值系数表。沿着n已知所在的行横向查找，若能恰好找到某一系数值等于α，则该系数值所在的列相对应的利率即为所求的利率i。•3.若无法找到恰好等于α的系数值，就应在表中行上找与最接近α的两个左右临界系数值，设为β1、β2（β1αβ2或β1αβ2）。读出所对应的临界利率i1、i2，然后进一步运用内插法。•4.在内插法下，假定利率i同相关的系数在较小范围内线形相关，因而可根据临界系数和临界利率计算出，其公式为：425130011001010101101000101001011)(121211iiii425130011001010101101000101001011（二）名义利率与实际利率•计息期小于一年的复利计算──终值•如果将100元存入银行，名义利率为8％，那第6个月的终值是100×[1+0.08/2]=104，在第1年末的终值是104×[1+0.08/2]=108.16，这与计息期为1年的值108是有差异的。•一年中计息m次，则n年年末终值的计算公式：F=P[1+(i/m)]mn•一年中的计息次数越多，在给定利率和期限的年末终值就越大。425130011001010101101000101001011（二）名义利率与实际利率•计息期小于一年的复利计算──现值•一年中计息m次，则n年末收到的现金流量的现值计算公式：•P=F/[1+(i/m)]-mn•一年中的计息次数越多，在给定利率和期限的现值就越小。•三年年末收到的100元在名义利率为8％，每季复利一次与每年复利一次的情况下，其现值差额是多少？•78.85-79.38=-0.53425130011001010101101000101001011•名义利率是指每年复利多于一次的利率•实际利率是指每年只复利一次的利率。•实际利率在每年计息一次时所提供的利息应等于名义利率在每年计息m次时年提供的利息。•（1+实际利率）=（1+i/m）m*1•实际利率=（1+i/m）m–1•如名义利率为8％，每季计息一次，则实际利率为•（1+8％/4）4–1=8.243％425130011001010101101000101001011•某企业于年初存入10万元，在年利率为10％，半年复利一次的情况下，到第10年末，该企业能得本利和为多少？•F=P(1+i/m)m·n•=10×(1+10%/2)2×１０=10×(F/P,5%,20)=26.53(万元)425130011001010101101000101001011