实数大小比较的常用方法

1实数的大小比较的常用方法一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。例1比较与的大小。析解：由于，且，所以。说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。二、平方法用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。例2比较与的大小。析解：由于，而，所以。说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：四、作差法：差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据55|5|,||55baba227337147)37(,63)73(22147633773.cbaabc2当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。解∵－＝＜0，∴＜。解∵（1－）－（1－）=＞0，∴1－＞1－。例2、比较的大小。解析：因为，所以。五、作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：来比较a与b的大小。例1：比较与的大小。解：∵÷=＜1∴＜例2比较与的大小。析解：设，，则;ba1ba;ba1ba.ba1ba120081200822211112008120083332221200812008n,1200812008m3332222221111112008a,2008a,2008a33332222,nm,11a2a1aaanm,1a2a1aaa,a2aa,0)1a(aa2aa,1a2a1aaa1a1a1a1anm,1a1an,1a1am24344342322324342323223即例3：比较20102009与20092008的大小解：20102009÷20092008=20102009×20082009=40360804036081﹤1所以20102009﹤20092008六、倒数法倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。例1：比较－与－的大小。解∵=+，=+又∵+＜+∴－＞－例2、已知a﹥1,b﹥2,试比较12aa与23ab的大小解：aa12=aa2+a1=2+a1因为a﹥1，所以2+a1﹤3ba23=bb3+b2=3+b2因为b﹥2，所以3+b2﹥3因为aa12﹤ba23所以12aa﹥23ab例3、设，则a、b、c的大小关系是（）。A、abcB、acbC、cbaD、bca解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。首先，，，因为，所以，则bc。又因为，所以，则ab。由此可得：abc。故选A。.120081200812008120083332222221114七、平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例5：比较与的大小解：，=8+2。又∵8+2＜8+2∴＜。八、估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4：比较与的大小解：∵3＜＜4∴－3＜1∴＜九．比较被开方数法。基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例6：比较2与3的大小解：∵2==，3==。又∵28＞27，∴2＞3。十、特殊值法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。例1：当时，，，的大小顺序是______________。解：（特殊值法）取=，则：=，=2。∵＜＜2，∴＜＜。5例2、已知xy0，设，则M、N、P、Q的大小关系是（）。A、MQPNB、MPQNC、QNPMD、NQPM解析：根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。不难得到：NQPM。因此，应选D。例3、已知a﹥1,b﹥2,则12aa______23ab(填﹥、﹤或=)分析：为填空题，可用赋值法。取a=2，b=3代入，52﹥113所以填入“﹥〉”。例4设a＝20，b＝(－3)2，c＝，d＝，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（）A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。十一、中间值法（还是判不了，就把中人找）如果ac，cb，那么ab。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。例1、比较的大小。解析：因为，所以。所以，即。例2、比较−3.55和−943的大小解:−3.55﹤−3.5−943﹥−95.43即−943﹥−3.5所以−3.55﹤−3.5﹤−943即−3.55﹤−9436十二、分子有理化法例14、比较的大小。解析：，。因为，故，所以。