§1-2-导热微分方程式及单值性条件

HeatTransfer传热学BuildingEnergyEfficiencyistheWaveoftheFuture!建筑工程系§1导热理论基础建筑环境与设备工程专业主干课程之一!Chapter1HeatconductiontheoryLogo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer傅里叶定律：gradtq建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。理论基础：傅里叶定律+能量守恒方程定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。（一）导热微分方程的推导一、导热微分方程§1-2导热微分方程式及单值性条件Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质(2)热导率、比热容和密度均为已知(3)物体内具有均匀分布内热源；强度qv[W/m3];qv表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量导热体内取一微元体，根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量加上微元体内热源生成的热量应等于微元体内能的增加量dv＝dv一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer1、导入与导出微元体的净热量d时间内、沿x轴方向、经x表面导入的热量：xxdqdydzdd时间内、沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：xdxxdxdqdydzddxxqqqxxdxx一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransferd时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量xxxdxqdddxdydzdxd时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量yyydyqdddxdydzdyd时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量zzzdzqdddxdydzdzd时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer[导入与导出净热量]:()yxzdqqqddxdydzdxyz傅里叶定律：xtqxytqyztqz[()()()]dtttdxdydzdxxyyzz一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer2、d时间微元体内热源的发热量vvqdxdydzd3、微元体在d时间内能的增加量dxdydzdtcdv＝一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。()()()vttttcqxxyyzz非稳态项源项扩散项一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer1）对上式化简：①导热系数为常数cztytxtat·222222)(式中，，称为热扩散率。)/(ca②导热系数为常数、无内热源222222()ttttaxyz一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer③导热系数为常数、稳态·2222220tttxyz④导热系数为常数、稳态、无内热源2222220tttxyz一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer综上说明：（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer（1）热扩散率的物理意义由热扩散率的定义可知：1）分子是物体的导热系数，其数值越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。2）分母是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。其数值越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。a反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）之间的关系.()ac4、有关说明一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer由此可见ɑ物理意义：①ɑ值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散，其内部各点温度扯平的能力越大。②ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer（2）导热微分方程的适用范围1）适用于q不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3）若属极低温度（-273℃）时的导热不适用。一、导热微分方程Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer二、导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程+单值性条件Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer1、几何条件：说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等2、物理条件：说明导热体的物理特征如：物性参数、c和的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；3、初始条件：又称时间条件，反映导热系统的初始状态)0,,,(zyxft４、边界条件:反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。二、导热过程的单值性条件Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer边界条件常见的有四类（１）第一类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值。t=f(y,z,τ)0x1x（2）第二类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值0x1x),,(zyfxt0wtf时20()()wtfn时４、边界条件Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer（3）第三类边界条件:该条件是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值0x1x)thttx（()()wwfthttn４、边界条件Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer（4）第四类边界条件:接触面边界条件４、边界条件导热微分方程＋单值性条件＋求解方法温度场sstt21ssntnt2211,Logo建筑工程系ConstructionEngineeringDepartmentHeatTransfer本章小结：(1)导热微分方程(2)热扩散率(3)单值性条件感谢所有资料原始持有人的辛勤劳动！