极限运算法则

极限运算法则定理1设limf(x)=A,limg(x)=B,则(1)lim[()()]lim()lim();fxgxfxgxAB(2)lim[()()]lim()lim();fxgxfxgxAB例:22222lim(ln)limlimln4ln2xxxxxxx例:221111lim()limlim1xxxxxxexeee极限运算法则注:运算前后极限过程保持一致;定理的前提是limf(x),limg(x)必须存在;在除法运算中,还要求分母的极限不为零.(3)()lim()lim,()lim()fxfxAgxgxB其中0.B例:000limcoscos1lim()1lim1xxxxxxxee推论1lim.CC推论2lim[()]lim().CfxCfx极限运算法则例:1lim22xlim22x例:2211lim22lim212xxxx极限运算法则例:求下列极限0lim(cos2)xxxe1lim(2ln)xxx0lim[(2)cos]xxx2limsinxxx0lim(2)xxex24lim()xxexx极限运算法则lim[()()()];fxgxhxABC若有limh(x)=C,则例:22111lim(2ln1)lim2limln13xxxxxxx例:求22lim(233)xxxe例:求322lim(2334)xxxxx极限运算法则推论3lim[()][lim()].nnfxfxlim[()()()];fxgxhxABC若有limh(x)=C,则例:3322222limlimlimlim(lim)8xxxxxxxxxx例:221111lim(sin)limlimlimsin1sin1xxxxxxxexxexe例:求0lim[cos(2)]xxexx例:求0coslim(2)xxxxex例:求32032lim1xxxxx思考:211lim(2)(3)xxx极限运算法则例:求211lim1xxx例:求2256lim2xxxx例:求例:求011limxxx例:求44lim53xxx02lim11xxx思考：2lim(1)xxx极限运算法则00例:求2225lim31xxxx例:求2331lim21xxxx例:求321lim21xxxx极限运算法则110110...lim0...mnmmmmnnxnnamnbaxaxamnbxbxbmn注意极限条件:xx或极限运算法则例求:10210541lim252xxxxx例求:32542lim1xxxx思考:302050(21)(32)lim(21)xxxx例求:32231lim(21)xxxx例求:4433lim(22)xxx极限运算法则例:求232lim1xxx例:求223limxxxx例:求2lim()xxxx极限运算法则例:求3113lim()11xxx思考：322lim()2121xxxxx例:求212lim()11xxxx极限运算法则例:求224lim()22xxxxx定理2(复合函数的极限运算法则)设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,若000lim(),lim(),xxuugxufuA00lim[()]lim().xxuufgxfuA且在x0的某去心邻域内有g(x)≠u0,则复合函数的极限例:1limxxe1ueux10求解顺序x0u结果:1lim1xxe复合函数求极限法则例:1limcoslnxx例:limsin(arctan)xx例:1limlncosxx复合函数求极限法则10limxxe01limarctanxx例:1sinlimxxe例:例:例:1limcoslnxx极限存在准则准则I(夹逼准则)如果函数f(x),g(x),h(x),在同一变化过程中满足g(x)≤f(x)≤h(x),且limh(x)=limg(x)=A,那么limf(x)=A.xy()gx()hx()fxOA夹逼准则例:试用夹逼准则证明sinlim0xxx1sin11sin111sinlimlim0lim0xxxxxxxxxxxx1yxxy1yxO111sintan222sintansincos1AOBAODAOBSSSxxxxxxxxx扇形证明:0limcos1xx1.2.3.0sinlim1xxxsin,,tanxCBxABxADOABCD1x0sinlim1xxx重要极限I:例:求0tanlimxxx例:求0sinlimlnxxx例:求0limsinxxx注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,可将这个极限变形,当sinlim1xu例:1sin(ln)lim1lnxxx若0,则xu例:求0sin5limxxx例:求1limsinxxx例:求0tan3limxxx例:求0sinlimsin2xxxxx例:求0sin6limsin5xxx思考：330sinlimsinxxx重要极限I:sinlim1xu重要极限I:sinlim1xu例:求a为何值时,函数20()sin30axxfxxxx在0x时有极限.1lim1xxex可将这个极限变形,当若,则xu重要极限II:例:求2lim1xxx1lim1xue幂指函数注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,例:tan21lim1tanxxex例:求24lim1xxx例:求2lim1xxx重要极限II1lim1xue例:求3lim12xxx例:求23lim1xxx321lim1xxx15lim1xxx例:求例:求重要极限II思考：2lim2xxxx1lim1xue例:求22lim1xxx10lim1xxxe可将这个极限变形,当1lim1.xue重要极限II的变形:例:1ln1lim1lnxxxe若0,则xu重要极限II注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,例:求10lim1xxx例:求102lim2xxx重要极限II例:求10lim(14)xxx例:求a为何值时,函数1(1)0()(12)0xaxxfxxx在0x时有极限.1lim1xue思考:sec2lim13cosxxx一般幂指函数的化简幂指函数是由指数函数和幂函数复合而的函数.()()vxyux幂指函数的化简方法:()ln()()ln()vxuxvxuxyee例:化简xyxlnlnxxxxxyxee例:求sin1limxxx例:求ln4lim(5)xxx幂指函数的极限:一般幂指函数的极限sinxyxln(5)xyx将下列幂指函数化为复合函数:连续复利设初始本金为P(元),年利率为,r按复利付息,m一年分次付息,则第t年末的本利和为若(1)mttrSPm当每年付息次数越多,本利和越大.当m时lim(1)mtrttmrSPPem以上公式常用于资产定价:rttPSe