易拉罐形状和尺寸的最优设计

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）C题:易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍b时，最优设计方案为61:：HR。在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h2.2rHR，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。关键词：最优设计体积结构材料最省lingo一、问题的提出随着社会的变化，大量的瓶装灌装饮料应运而生，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。测量各个品牌间不同的易拉罐的高度、直径、厚度等，利用所得到的数据来验证易拉罐的最优设计。需要使用什么样的方法才能验证易拉罐的最优设计呢？易拉罐的实际尺寸是否有要求、有什么样的要求呢？在已有的数据基础上我们能不能自己设计易拉罐的形状和尺寸的的最优化呢？二、分析问题对于问题一的分析：问题一测量易拉罐的具体数值，没有问题。只需注意易拉罐的多样化就好。对于问题二：在假设最优化条件为保证容积的情况之下，使易拉罐所需材料最省，也就是所需材料的表面积最小。在表面积最小时，设圆柱的体积V为常数，求半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找到模型的最优设计。在建立模型之前我们需要考虑易拉罐的材料和材料的受力情况。对于问题三：本设计要在保证容积最优化的情况之下，使易拉罐所需的材料最省。由于易拉罐的外形不是纯正的圆柱体，所以在建模之时要对模型作出假设。假设易拉罐的上半部分是一个正圆台，下半部分是一个正圆柱体。然后考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo软件，计算出模型的最优解；通过观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的3倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、顶盖厚度为a，其余部分为b，且a：b=3:1,体积V=355ml时，同时利用lingo软件，计算出模型的最优解。对于问题四：自己设计易拉罐的形状和尺寸，在节省材料的情况之下还需要易拉罐自身的承重、外观的美观、实用性等等。易拉罐在设计为圆锥时是最省材料的，但不实用，所以需要将易拉罐设计为圆柱、圆台的结合体，考虑拉环等因素，顶端与顶端要有所侧重。对于问题五：表达自己的直观感受以及对模型的理解即可。三、模型假设（1）、易拉罐顶盖、底盖厚度为a3，其它部分厚度为a（2）、易拉罐是正圆柱体（3）、易拉罐整体厚度均相同（4）、易拉罐的上部分是一个圆台，下半部分是一个正圆柱体（5）、易拉罐整体厚度相同（6）、mlV335四、符号说明符号符号说明符号符号说明R圆柱半径r圆台半径H圆柱高h圆台高S易拉罐表面积V易拉罐体积:MIN最小化1X在软件lingo中的圆柱半径2X在软件lingo中的圆柱高3X在软件lingo中的圆台半径4X在软件lingo中的圆台高五、模型的建立与求解问题一的模型解：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。数据测量如表一所示：表一：数据测量结果1mm2mm3mm4mm平均（mm）1D（罐盖直径）57.8458.3058.0458.6058.822D（罐身直径）65.7065.5665.5165.5865.603D（罐低直径）47.6247.6247.1847.7447.531X（罐盖厚度）0.3140.3020.3150.3100.3102X（罐身厚度）0.1080.1100.1140.1100.1113X（罐底厚度）0.3270.3200.3390.3440.3331H（罐盖高度）10.3010.9810.429.9610.422H（罐身高度）101.98102.06102.36101.92102.083H（罐底高度）5.625.305.124.865.23L（罐盖斜边长度）0.1930.2040.2100.2010.202拉环长度42.5342.4842.4842.5142.50数据来源：第七页问题二的模型：（一）、设易拉罐内半径为R，高为H，厚度为a,体积V，其中r和h是自变量，所用材料的面积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：223322222,2242*)(*)(2RVHHRVHaHRaaRaaRHRHaRaaRS设VHRHRHRg22),(模型的建立：0),(0,0),(minHRgHRhrS其中S是目标函数，0),(HRg是约束，V是已知的，即要在体积一定的条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少模型求解因为按照实际测量数据可知ar，所以带2a，3a的项可以忽略，且2RVH，则有RaVaRRHRS22))(,(2求))(,(rhrS的最小值，令其导数为零，即0))(,('RHRS,解得临界点为32VR,则RVVVH22*2)2(323因为344)(RaVaRS,则012)2(3aVS,所以当2:1:HR时，是S最优解模型结论在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积求导，得到高是半径的两倍，2:1:hr，此时，模型最优。（二）易拉罐顶盖、底盖厚度不同时的最优设计模型2、确定变量和参数：设；饮料内半径为R，高为H，体积为V，易拉罐顶盖、底盖厚度为a，其它部分厚度为b。其中r和h是自变量，所以材料的体积S是因变量，而a，b，c和V是固定参数。则S和V分别为：HRHaRaaRS222*)(3*)(2HaRaHaRaRa232226126HRV2,2RVH设VHRHRgxxV22),()2()(模型建立：),(minHRS0,0HR0),(HRg其中S是目标函数，0),(HRg是约束条件，厚度比例与V是已知的，即要在体积V一定的条件下求r和h的取值是多少时体积S最小模型求解因为按照实际测量数据可知aR,所以带32aa，的项可以忽略，且2RVH,则2226RaVRaS，求))(,(rhrS的最小值，令其导数为零，即0))(,('RHRS,解得临界点为：3,6VR则RVVVH62*66323因为,412)(''3RaVaRS则0486''3aVS，因此当RH6时，S为最优解。观察模型（一）与模型（二），可见当厚度不同时，半径与高的比例不同，似乎有一定联系，因此我们假设顶与底盖的厚度为ab，壁的厚度为a，其中b为比例系数，则23222222242*)(*)(2HaHRababRaabRHRHaRbaaRS因为按照实际测量数据所可知aR，所以带2a，3a的项可以忽略，且2RVH,则有RaVabRS222求))(,(rhrS的最小值，令其导数为零，即0))(,('RHRS,解得临界点的值为2bR,S为最优解。对于问题三的模型有：（一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R，正圆柱体高为H，正圆台高为h,体积为V，其中R,r,H,h是自变量，所以材料的体积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：2222)()(2)(rRhrRRHrRShrRrRHRV)(31222设：VhrRrRHRhHrRg)(31),,,(222建立模型：0),,,(0,0,0,0),,,(minhHrRghHrRhHrRS其中S是目标目标函数，0),,,(hHrRg是，R约束条件，V是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小时,R,r,H,h的取值各是多少模型求解：利用LINGO求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4，则2222))3()1(()4())3()1(()2)(1(2))3()1((xxxxxxxxxS)4)()3()3)(1()1((31)2()1(222xxxxxxxV利用LINGO计算结果，得rRhH42时S为最优解。在易拉罐的上半部是一个正圆台，下半部是一个正圆柱体，且厚度均相同的前提下，当体积为固体参数，表面积最小，利用lingo软件计算，得到圆台的高与圆柱的高等于两倍圆柱的半径，同时也等于四倍的圆台半径，rRhH42，模