二轮复习：2.4.3-导数与函数的零点及参数范围课件(含答案)

2.4.3导数与函数的零点及参数范围-2-判断、证明或讨论函数零点个数解题策略一应用单调性、零点存在性定理、数形结合判断例1设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明当a0时,f(x)≥2a+aln.难点突破(1)讨论f'(x)零点的个数要依据f'(x)的单调性,应用零点存在性定理进行判断.(2)证明f(x)≥2a+aln2𝑎⇔证明f(x)max≥2a+aln2𝑎.2𝑎(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2𝑥−𝑎𝑥(x0).当a≤0时,f'(x)0,f'(x)没有零点,当a0时,因为e2𝑥单调递增,-𝑎𝑥单调递增,所以f'(x)在(0,+∞)单调递增.又f'(a)0,当b满足0b𝑎4且b14时,f'(b)0,故当a0时,f'(x)存在唯一零点.-3-(2)证明由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2𝑥0−𝑎𝑥0=0,所以f(x0)=𝑎2𝑥0+2ax0+aln2𝑎≥2a+aln2𝑎.故当a0时,f(x)≥2a+aln2𝑎.解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.-4-对点训练1已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.(1)解f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得-2𝑎=-2,所以a=1.-5-(2)证明由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题设知1-k0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.当x0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.-6-解题策略二分类讨论法例2已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x0),讨论h(x)零点的个数.难点突破(1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f'(x0)=0,得关于a,x0的方程组解之.(2)为确定出h(x)对自变量x0分类讨论;确定出h(x)后对参数a分类讨论h(x)零点的个数,h(x)零点的个数的确定要依据h(x)的单调性和零点存在性定理.14-7-解(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,即𝑥03+𝑎𝑥0+14=0,3𝑥02+𝑎=0,解得x0=12,a=-34.因此,当a=-34时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)0,故h(x)在(1,+∞)无零点.当x=1时,若a≥-54,则f(1)=a+54≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a-54,则f(1)0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)0,故x=1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.-8-(ⅰ)若a≤-3或a≥0,则f'(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.而f(0)=14,f(1)=a+54,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3a0,则f(x)在0,-𝑎3单调递减,在-𝑎3,1单调递增,故在(0,1)中,当x=-𝑎3时,f(x)取得最小值,最小值为f-𝑎3=2𝑎3-𝑎3+14.①若f-𝑎30,即-34a0,f(x)在(0,1)无零点;②若f-𝑎3=0,即a=-34,则f(x)在(0,1)有唯一零点;-9-③若f-𝑎30,即-3a-34,由于f(0)=14,f(1)=a+54,所以当-54a-34时,f(x)在(0,1)有两个零点;当-3a≤-54时,f(x)在(0,1)有一个零点.综上,当a-34或a-54时,h(x)有一个零点;当a=-34或a=-54时,h(x)有两个零点;当-54a-34时,h(x)有三个零点.解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函数零点的个数.2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.-10-对点训练2已知函数f(x)=alnx+-(a+1)·x,a∈R.(1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值;(2)当a≤1时,讨论函数f(x)的零点个数.𝑥22解(1)函数f(x)的定义域为{x|x0}.当a=-1时,f(x)=-lnx+𝑥22,f'(x)=-1𝑥+x=𝑥2-1𝑥=(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥.由(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥0(x0),解得x1;由(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥0(x0),解得0x1.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.所以x=1时,函数f(x)取得最小值f(1)=.12-11-(2)f'(x)=(𝑥-1)(𝑥-𝑎)𝑥,x0.①当a≤0时,若x∈(0,1),则f'(x)0,f(x)为减函数;若x∈(1,+∞),则f‘(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在x=1时取得最小值f(1)=-a-.12(a)当a=0时,f(x)=𝑥22-x,由于x0,令f(x)=0,x=2.则f(x)在(0,+∞)内有一个零点;(b)当a=-12时,即f(1)=0时,f(x)有一个零点;(c)当a-12时,即f(1)0时,f(x)无零点.(d)当-12a0时,即f(1)0时,由于x→0(从右侧趋近0)时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)有两个零点.-12-②当0a1时,x∈(0,a)时,f'(x)0,f(x)为增函数;x∈(a,1)时,f'(x)0,f(x)为减函数;x∈(1,+∞)时,f'(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在x=a处取极大值,f(x)在x=1处取极小值.f(a)=alna+12a2-(a+1)a=alna-12a2-a.当0a1时,f(a)0,即在x∈(0,1)时,f(x)0.而f(x)在x∈(1,+∞)时为增函数,且x→+∞时,f(x)→+∞,所以此时f(x)有一个零点.-13-③当a=1时,f'(x)=(𝑥-1)2𝑥≥0在(0,+∞)内恒成立,所以f(x)为增函数.且x→0(从右侧趋近于0)时,f(x)→-∞;x→+∞时,f(x)→+∞.所以f(x)有一个零点.综上所述,当0≤a≤1或a=-12时,f(x)有一个零点;当a-12时,f(x)无零点;当-12a0时,f(x)有两个零点.-14-已知零点个数求参数范围解题策略一最小值法例3(2017内蒙古包头一模,文20)已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a0,a≠1).(1)当a1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.难点突破(1)先求f(x)的导函数f'(x),再证明f'(x)0.(2)由题意当a0,a≠1时,f'(x)=0有唯一解x=0,y=|f(x)-t|-1有三个零点⇔f(x)=t±1有三个根,从而t-1=(f(x))min=f(0)=1,解得t即可.-15-(1)证明f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.由于a1,故当x∈(0,+∞)时,lna0,ax-10,所以f'(x)0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)解当a0,a≠1时,∵f'(x)=2x+(ax-1)lna,∴[f'(x)]'=2+ax(lna)20,∴f'(x)在R上单调递增,因为f'(0)=0,故f'(x)=0有唯一解x=0.所以x,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x)=t±1有三个根,而t+1t-1,所以t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)-0+f(x)递减极小值递增-16-解题心得在已知函数y=f(x)有几个零点求f(x)中参数t的值或范围问题,经常从f(x)中分离出参数t=g(x),然后用求导的方法求出g(x)的最值,再根据题意求出参数t的值或范围.-17-对点训练3已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围.1e,e解(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f'(x)=2𝑥-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f'(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.-18-(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g'(x)=2𝑥-2x=-2(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥.因为x∈1e,e,所以当g'(x)=0时,x=1.当1ex1时,g'(x)0;当1xe时,g'(x)0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g1e=m-2-1e2,g(e)=m+2-e2,g(e)-g1e=4-e2+1e20,则g(e)g1e,所以g(x)在1e,e上的最小值是g(e).g(x)在1e,e上有两个零点的条件是𝑔(1)=𝑚-10,𝑔1e=𝑚-2-1e2≤0,解得1m≤2+1e2,所以实数m的取值范围是1,2+1e2.-19-解题策略二分类讨论法例4(2017吉林市三模,文20)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(e2,f(e2))处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数).(1)求f(x)的解析式及单调减区间;(2)若函数g(x)=f(x)-𝑘𝑥2𝑥-1无零点,求k的取值范围.𝑚𝑥ln𝑥难点突破(2)∵g(x)=x2ln𝑥-𝑘𝑥𝑥-1,函数g(x)无零点,即要2ln𝑥−𝑘𝑥𝑥-1在x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解,亦即要klnx-2(𝑥-1)𝑥=0在x∈(0,1)∪(1,+∞)内无解.构造函数h(x)=klnx-2(𝑥-1)𝑥⇒h'(x)=𝑘𝑥-2𝑥2.对k讨论,运用单调性和函数零点存在定理,即可得到k的范围.-20-解(1)由已知得f'(x)=𝑚(ln𝑥-1)(ln𝑥)2,由题意f'(e2)=12⇒𝑚4=12,m=2,故f(x)=2𝑥ln𝑥.此时f'(x)=2(ln𝑥-1)(ln𝑥)2,由f'(x)≤0⇒0x1或1x≤e,故f(x)的单调减区