福建省厦门外国语学校2015届高三最后适应性模拟考试数学(理)试题

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！厦门外国语学校2015届高三适应性考试理科数学试卷2015-5-30(时间：120分钟；满分：150分)注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足：1zii（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．iB．iC．1D．12．计算sin5700＝A．12B．－12C．32D．－323．给出以下四个说法:①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;②线性回归直线一定经过样本中心点,xy;③设随机变量ξ服从正态分布N(1,32)则p(ξ1)=12;④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大,则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小.其中正确的说法的个数是A．1B．2C．3D．44．已知点M(-6,5)在双曲线2222:1(0,0)xyCabab上,双曲线C的焦距为12,则它的渐近线方程为A．52yxB．255yxC．23yxD．32yx高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！5．执行右面的程序框图，若输入7,6xy，则输出的有序数对为A．（11，12）B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）6．设函数01xxfxakaaa且在，上既是奇函数又是减函数，则logagxxk的图象是7．若sin2fxx，则“fx的图象关于3x对称”是“6”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．已知偶函数()fx满足当x0时，13()2()1xfxfxx，则(2)f等于（）A．813B．43C．415D．8159．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（）A．22mB．23mC．4mD．6m10．若fx为定义在区间G上的任意两点12,xx和任意实数0,1，总有121211fxxfxfx，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）①xxfxe，②fxx，③ln1xfxx，④21xfxxA．4B．3C．2D．1高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．在各项为正数的等比数列na中，若6542aaa，则公比q；12．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．13．已知51ax的展开式中2x的系数与454x的展开式中3x的系数相等，则a_____.14．直线21axby与圆221xy相交于A，B两点（其中a，b是实数），且AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点,Pab与点（1，0）之间距离的最小值为_______.15．一质点从正四面体A﹣BCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，…对于N∈n*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、甲乙8978931069789（第12题图）高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！PB、BC的中点．（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；18．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)xyabab,过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)已知点A的坐标为(0,)b,椭圆上存在点,PQ,使得圆224xy内切于APQ,求该椭圆的方程.19．（本小题满分13分）如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝，∈(0，π)．（Ⅰ）当＝23时，求点P距地面的高度PQ；（Ⅱ）试确定的值，使得MPN取得最大值．20．（本小题满分14分）已知函数32fxaxxa，（Ⅰ）求函数fx的单调递增区间；（第19题图）AMNBOPQ高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！（Ⅱ）若,an且*nN，设nx是函数32nfxnxxn的零点.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量321e并有特征值12及属于特征值－1的一个特征向量112e，11（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求5M．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为sincos1，曲线2C的参数方程为2cossinxy（为参数）.（Ⅰ）求曲线1C的直角坐标方程与曲线2C的普通方程；（Ⅱ）试判断曲线1C与2C是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知()11fxxx,不等式()4fx的解集为M.（1）求M；（2）当,abM时,证明:24abab.厦门外国语学校2015届高三适应性考试理科数学参考答案2015-5-30一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.DBBAACBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！2甲D三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16解：（Ⅰ）设事件为“两手所取的球不同色”，则.………5分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0,1,2．………6分左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，………8分，，，………11分Ｘ012Ｐ所以Ｘ的分布列为：.………………………13分17【解析】（I）利用直线和平面垂直的判定定理直接证明（II）建立坐标系用法向量求解方法1：（I）证明：平面平面，平面∵平面PAD⊥平面ABCD，，∴平面PAD，∵E、F为PA、PB的中点，∴EF//AB，∴EF平面PAD；（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，∵，则PO平面ABCD．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！取AO中点M，连OG，,EO,EM,∵EF//AB//OG,∴OG即为面EFG与面ABCD的交线又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,故OGEO∴即为所求，EM＝ＯＭ＝１∴tan＝故＝∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是方法2：（I）证明：过P作POAD于O，∵，则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，∵PA＝PD，∴，得，，故，∵，∴EF平面PAD；（II）解：，设平面EFG的一个法向量为则，，平面ABCD的一个法向量为……（12分）平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：，锐二面角的大小是；高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！19.解：（1）由题意，得PQ＝50－50cosq．从而，当q＝p32时，PQ＝50－50cosp32＝75．即点P距地面的高度为75m．…………………………4分（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sinq，从而MQ＝60－50sinq，NQ＝300－50sinq．又PQ＝50－50cosq，所以tanÐNPQ＝PQNQ＝qq1－cos6－sin，tanÐMPQ＝PQMQ＝qq5－5cos6－5sin．…………………………6分从而tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！＝ÐÐÐ×Ð1＋tanNPQtanMPQtanNPQ－tanMPQ＝qq1－cos6－sinqq5－5cos6－5sinqq1－cos6－sinqq5－5cos6－5sin5－5cos6－5sin＝qqq23－18sin－5cos1－cos．…………………………9分令g(q)＝qqq23－18sin－5cos1－cos，q∈(0，π)，则g¢(q)＝qqqq2sin＋cos－1，q∈(0，π)．由g¢(q)＝0，得sinq＋cosq－1＝0，解得q＝p．…………………………11分当q∈(0，p)时，g¢(q)＞0，g(q)为增函数；当q∈(p，p)时，g¢(q)＜0，g(q)为减函数，所以，当q＝p时，g(q)有极大值，也为最大值．因为0＜ÐMPQ＜ÐNPQ＜p，所以0＜ÐMPN＜p，从而当g(q)＝tanÐMPN取得最大值时，ÐMPN取得最大值．即当q＝p时，ÐMPN取得最大值．…………………………14分（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)．设点P的坐标为(x0，y0)，所以Q(x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0．从而tanÐNPQ＝PQNQ＝y0300－x0，tanÐMPQ＝PQMQ＝y060－x0．…………………………6分从而tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)＝ÐÐÐ×Ð1＋tanNPQtanMPQtanNPQ－tanMPQ＝y0300－x0y060－x0y0300－x0y060－x0y060－x0＝10y0－36x0＋180024y0．由题意知，x0＝50sinq，y0＝50－50cosq，所以tanÐMPN＝＝qqq23－18sin－5cos1－cos．…………………………9分（下同方法一）20.（i）证明:时存在唯一且；（ii）若，记，证明:高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！解：（Ⅰ），若，则，函数在上单调递增；若，令，或，