19.2.1平行四边形的定义、性质(3课时)

§19.2.1平行四边形的定义、性质（1）1、理解什么是平行四边形及其表示方法；2、探索平行四边形的性质；3、能利用平行四边形的性质解决问题。学习目标：学习重点：平行四边形的性质探究.学习难点：应用平行四边形的性质解决问题。1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、记作:ABCD3、读作：平行四边形ABCD4、几何语言:四边形ABCD是平行四边形AB∥CDAD∥BCABCD小学阶段我们已经接触过平行四边形，你能通过画图给平行四边形下一个定义吗？5、其它有关概念：平行四边形中相对的边称为对边，相对的角称为对角。（1）若EF∥AD，则图中有＿＿个平行四边形。ABCF（2）若GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中有＿＿个平行四边形，如图：ABCD，HDGE39O分别是？平行四边形的边、角有怎样的数量关系？ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。●ADOCBDBOCA一个图形绕一个点O旋转180°后与自身重合，这时我们说这个图形是中心对称图形，点O叫对称中心。OABCD（C）（A）（B）（D）AD=BCAB=CD∠BAD=∠DCB∠ABC=∠CDA思考：平行四边形的邻角有什么关系呢？、11OA=OC=ACOB=OD=BD22对边相等对角相等对角线互相平分邻角互补发现了什么？已知：ABCD（如图）求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠BAD=∠DCB即∠BAD＝∠DCB证明：连接AC∵AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的对边平行）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3在△ABC和△CDA中ABCD1234猜想：平行四边形的对边相等、对角相等。如何证明？已知：ABCD中（如图）对角线AC、BD相交于点O。求证：OA=ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ证明：∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4又∵AＤ＝ＢC，∴△AＯＤ≌△ＢＯＣ（ASA）（平行四边形的对边相等）∴OA＝OC，OB=ＯＤABCD1234猜想：平行四边形的对角线互相平分。如何证明？Ｏ即平行四边形对角线互相平分平行四边形的性质1：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；邻角互补。平行四边形的性质2：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CDAD∥BC∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=180°∠B+∠C=180°…几何语言：几何语言：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的性质3：AC=BD吗？ODCBA如图，∵ABCD几何语言：BDODOBACOCOA2121∴如图，在ABCD中，（1）若∠A:∠B=5:4，则∠C=______、∠D=______100°80°（2）∠A:∠B:∠C:∠D的度数可能是（）A、1:2:3:4B、3:2:3:2C、2:3:3:2D、2:2:3:3B（3）连接AC若∠D=80°,∠DAC=40°则：∠BAD=___80°（4）若AB：BC=3：4，周长为28㎝，则CD=_____，DA=_____6cm8cm0（5）若BC－AB=4cm，周长为32cm，则AB=。10cm（6）若AC=18cm,BD=24cm,则AO=,BO=.又若AB=13厘米，则△COD的周长为。9cm12cm34cm（7）△OAB的周长比△OBC的周长短3，则________。相差（8）如图，在平面直角坐标系中，OBCD的顶点O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（）xYCO(0,0)B(5,0)D(2,3)A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2)C用两个三边都不相等的全等三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？从拼图可以得到什么启示？小结：平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？A1A3A2ABC通过今天这节课，我们学会了······定义表示方法性质两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形ABCD,记为“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。其它周长=两邻边之和×2面积=边长×边长上的高对称性平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。§19.2.2平行四边形的性质（2）研究对象研究结果几何表示对边邻边对角邻角对角线平行且相等相等互补∠A＝∠C,∠B＝∠DAB∥CD，AD∥BC＝＝∠A＋∠B＝180°上节课我们掌握了平行四边形的哪些性质？ODCBAOA=OC、OB=OD互相平分BE平分∠ABC交AD于点E。（1）若AE=2，求CD的长。ABCD中，例1、如图，ADCBE123（2）若求ED的长，需要添加什么条件?1、如图1，ABCD中AB=5，BC=9，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，则DE=_____，AF=_____，EF=_____EFADCB12、如图2，ABC,AB=AC=10，则ADEF的周长为_____。ABCDEF20图1图244练一练3、如图3ABCD中，BC=5，AC=4，∠BAC=90.则ABCD的面积为_____ABCD12图3平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（）A、不稳定性B、对角线互相平分C、内角的为360°D、外角和为360°B例2、如图，□ABCD与□EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE=CFABFEDC04、如图：平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,（1）若AB=8,则以下两条线段长能作为平行四边形的对角线的长的是（）（A）4,12（B）6,8（C）8,26（D）12,20练一练ODBAC（2）若AC+BD=20,△AOB的周长等于15,则CD=___.5D（3）若对角线AC、BD长分别为14cm和20cm，它的边长可以为18cm吗？为什么?3cm＜x＜17cmAB连结两点的线段的长度叫两点间的距离。P直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。Ql点与点的距离点到线的距离1．夹在两条平行线间的平行线段相等．2．两条平行线间的距离处处相等．1l2lABA′B′AB、A‘B’：夹在两条平行线间的平行线段．CD、C‘D’：夹在两条平行线间的垂线段．1l2lCDC′D′平行线间的距离：两条平行线中，一条平行线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。例3：如图，在ABCD中ABCD（1）若AB=4，AD=5，∠B=45°求直线AD于BC之间的距离，直线AB于CD之间的距离。EF（2）若AE、AF为BC、CD边上的高，且∠EAF=60°求：∠B、∠C。（4）若AB=16、AD=20，AD和BC之间的距离是8，求AB和CD之间的距离。利用等积法求两平行线间的距离（3）若AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，BE=2，CF=1，求平行四边形ABCD的面积。291、如图，如果直线l1∥l2,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的.你能说出理由吗?你还能在这两条平行线l1，l2,之间画出其它与△ABC面积相等的三角形吗?CABDl1l22、如图ABCD中，ABE的面积S，ADE，BCE则S与S1+S2的大小关系是____面积分别是S1，S2，BEDCASSS12性质4：平行四边形是中心对称图形。平行四边形的周长：两邻边之和×2平行四边形的面积：边长×边长上的高平行线之间的距离处处相等。平行四边形的性质：性质3：平行四边形的对角线互相平分。性质2：平行四边形的对角相等、邻角互补。性质1：平行四边形的对边平行且相等。§19.2.3平行四边形性质——习题课上节课我们掌握了平行四边形的哪些性质？例1、已知ABCD中，AE⊥BD，AF⊥BD，垂足为E、F，求证：EB=DFABCDEF1、已知如下图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，且BE∥DF。求证：BE=DFABCDOEF例2、如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点E，AC⊥BC，AC=4，AB=5，求BD的长。ABCDE解：∵AC⊥BC∴BC2=AB2-AC2=25=16=9（勾股定理）∴BC=3∵四边形ABCD是平行四边形∴CE=AC=2，BD=2BE21∴1322CEBCBE132∴BD=2BE=（平行四边形对角线互相平分）（勾股定理）你还有别的方法吗?FEABCD(1)△ABE的面积为______cm2264利用三角形面积求两平行线间的距离(2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为_____cm2如图，E是直线CD上的一点。已知平行四边形ABCD的面积为52cm²。133、如图，已知平行四边形ABCD，以一组对边AD、BC向形外作等边△ADE和等边△BCF，连结BE、DF，探索BE、DF的大小关系。例3、如图,□ABCD的两条对角线相交于点O.(1)图中有多少对全等三角形?请把它们写出来;(2)你能在图中找一些面积相等的三角形吗?ABCD（3）请你判断△ABC和△DBC的面积相等吗?为什么呢?一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：老大老二老三老四当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ACDBO●老大老四老三老二M故四人的土地面积相同，老人分地合理。4、一块草地中间有一水井，为了浇水的方便，经过水井修一条小路，并且把草地分成面积相等的两部分，同学们，你能画出小路的位置吗？BMC●DA练一练找一找ABDOEFABCDOEFABCDOEFCABCDOEF1、在这些图形中面积相等的图形有哪些？小结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分。2、ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点O与AB、CD分别相交于E、F,试探究OE与OF的大小关系？并说明理由。ABCDOEF●●●1234说一说●ODCBAEF●ODCBAEF(1)(2)3、在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然成立？试说明理由。●●●●4、在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下图（3）的位置时,上述结论是否仍然成立？FEF●ODCBAE(1)●ODCBAEF(3)(3)(4)若此时再与两边延长线相交呢？●ODCBAEF(4)●●●●小结：过对角线交点的任一条直线在平行四边形一组对边上所截得的线段被对角线平分。1、如图，□ABCD为平行四边形，两条对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中正确的有.(1)S△BOC＝1/4S□ABCD(2)△AOD、△AOB周长之差为AD－AB(3)△AOB≌△COD(4)S△ACD≠S△ABDABCDO2、等边△ABC的边长为10，点P为△ABC内一点，PD∥ABPE平行AC，PF∥BC，则PD+PE+PF的值为______。DFPCEBAE3、如图，∠ABC=3∠C，点F在CB延长线上，FE⊥CD，AD=CE=1，则BF=______。ABCD中，CBFDABFDA4、如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（）（A）3（B）4（C）5（D)6ABFEDCGH5、如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BMBDCEFAM6、如图所示，在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结