第5讲--奇异期权

郑振龙厦门大学金融系厦门大学金融工程研究中心@xmu.edu.cnCFA-XMUFEC金融衍生品高级研修班2013年9月第5讲奇异期权厦门大学郑振龙2013奇异期权的定义标准的欧式和美式期权被称为香草（Vanilla）期权，交易所交易的期权多数属于此类在OTC市场上，交易活跃并为期权交易商提供了大多数利润的期权是奇异（Exotic）期权奇异期权回报取决于各种独特的条款，可以用于满足特性化的对冲和投资需求而大受欢迎2厦门大学郑振龙2013全球奇异期权发展3厦门大学郑振龙2013常见的奇异期权PackageNonstandardAmericanoptionsGapoptionsForwardstartoptionsCliquetoptionsCompoundoptionsChooseroptionsBarrieroptions4BinaryoptionsLookbackoptionsShoutoptionsAsianoptionsOptionstoexchangeoneassetforanotherOptionsinvolvingseveralassetsVolatilityandVarianceswaps厦门大学郑振龙2013奇异期权的特性在研究和使用奇异期权时，某些特性需要特别注意路径依赖亚式期权、回溯期权、障碍期权…相关性风险依赖多资产类期权5厦门大学郑振龙2013案例一某外贸企业每月都会向美国出口产品，因此有定期将美元兑换为人民币的需求，其希望规避未来一年中的外汇风险。假设每月的收入预计为一百万美元，第月的汇率为，人民币利率为r，那么总现金流到年底的终值为该企业收入面临美元贬值风险。如何对冲？6iix12(12)/121100()riiixe−=×∑万厦门大学郑振龙2013可供选择的对冲工具一系列外汇远期一个互换合约一个期末到期的普通期权一系列普通期权亚式期权7厦门大学郑振龙2013亚式期权亚式期权的回报取决于标的资产在一段时间中的平均价格Save平均价格作为标的资产价格：Call:max(Save–K,0)Put:max(K–Save,0)平均价格作为执行价格:Call:max(ST–Save,0)Put:max(Save–ST,0)8厦门大学郑振龙2013案例一中的风险暴露恰好包含平均汇率的因素912(12)/121100riiixe12121112()1212iveiiiaxxx厦门大学郑振龙2013亚式期权的定价在Black-Sholes模型框架下，如果Save为几何平均，可以推导出亚式期权的闭式解。10厦门大学郑振龙2013亚式期权的定价如果Save为算术平均（这更为常见），则S的对数正态分布不能保证Save的对数正态分布，无法得到精确的闭式解，但可以采用如下方法1.用数值方法求解（蒙特卡洛模拟）2.在风险中性测度下求出Save的前两阶矩，再用前两阶矩与之相等的几何正态分布作为近似，运用Black模型求解11厦门大学郑振龙2013案例一：不同期权策略对冲费用比较我们比较以下四种案例一的对冲方案12方案一购买一份一年期的看跌期权作为对冲，规模为1200万美元方案二购买十二个月份的看跌期权，每份规模为100万美元方案三购买一份几何平均亚式看跌期权，规模为1200万美元方案四购买一份算术平均亚式看跌期权，规模为1200万美元厦门大学郑振龙2013案例一：不同期权策略对冲费用比较假设当前汇率和期权执行价均为6，人民币利率为3%，美元利率为3%，汇率的波动率为10%，可以计算出四类策略所用期权的期权费13对冲工具期权费(万人民币)一年期看跌期权148.66十二个对应月份看跌期权117.61几何平均亚式期权96.98算术平均亚式期权95.26厦门大学郑振龙2013亚式期权受欢迎的原因较低的期权费因为资产价格的平均值的波动率要低于资产价格本身可以为未来一段时间之内的资产购买需求进行保险。如果未来需要资金的具体时间不确定，或者需要资金的数量随着时间和其他资产价格的变化而变化，通过亚式期权可以方便地对冲风险可以为未来定期收到的一系列现金流进行保险。难以操纵股票价格14厦门大学郑振龙2013亚式期权的对冲几何平均亚式期权有闭式解，所以可以直接计算希腊字母进行相应的对冲。算术平均亚式期权可以用近似解析解求希腊字母，或者用数值方法计算希腊字母，然后再进行相应的对冲。随着到期日临近，亚式期权的不确定性会越来越小，所以比普通期权的对冲更容易。15厦门大学郑振龙2013案例二当前的黄金期货的价格为250元/克，某黄金生产企业产量为1吨。该企业希望在黄金价格低于230元/克时进行对冲，对小幅下跌无强烈规避欲望。如何对冲？16厦门大学郑振龙2013方案一：普通看跌期权，K=230方案二：向下敲入看跌期权，K=230，H=200如果障碍被触发，两种方案的回报是一样的。成本如何？17厦门大学郑振龙2013障碍期权障碍期权是指当标的资产价格路径穿越某一水平才会生效或者失效的期权。根据触发后失效或生效分为敲出（out）敲出（in）根据障碍水平与当前价格的大小关系分为向上（up）向下（down）18厦门大学郑振龙2013假设某向下敲出障碍期权的执行价为120，障碍水平为100，在不同路径下其回报如下图所示19厦门大学郑振龙2013障碍期权的优缺点20类型优点缺点敲出期权1.便宜2.适用于小的价格波动价格波动剧烈时容易失效敲入期权1.便宜2.适用于大的价格波动价格波动不够时难以生效厦门大学郑振龙2013障碍期权的定价在BS框架下可以得到障碍期权的闭式解，以向下敲出为例（Hull，2009）21厦门大学郑振龙2013案例二各方案成本方案一：普通看跌期权成本方案二：障碍期权成本226,,,,250,230,0.5,0.3,011.8111.81101181pSKTtrp万6,,H,,,250,230,200,0.5,0.3,010.6610.66101066didipSKTtrp万厦门大学郑振龙2013障碍期权的特性和对冲为了避免价格操纵，通常都会约定一段时间内的平均数作为触发障碍水平的标的。敲出障碍期权的vega有可能为负，因为剧烈的波动意味着失效的可能性增大。对于障碍期权的卖方来说，对冲会比较困难，因为在股价到达障碍点时期权的delta、vega会发生较大的变化。有时可以用普通期权的组合进行静态对冲。23厦门大学郑振龙2013静态对冲原理：障碍期权如果最终生效，其回报和普通期权是一样的。如果可以复制奇异期权在一些边界点的回报，那么在边界点内部的点也会同时吻合。可以动态地使用静态对冲来连续地对奇异期权进行复制。24厦门大学郑振龙2013静态对冲：示例假设无红利，S0=50,K=50,期限为九个月的向上敲出期权障碍值为60,r=10%,s=30%对边界一个自然的选择是f(S,0.75)=max(S–50,0)whenS60f(60,t)=0when0≤t≤0.7525厦门大学郑振龙2013TheBoundary26厦门大学郑振龙2013静态对冲：示例我们复制边界上的以下点f(S,0.75)=MAX(S–50,0)forS60f(60,0.50)=0f(60,0.25)=0f(60,0.00)=027厦门大学郑振龙2013静态对冲：示例复制方法为:+1.00到期期限为0.75，执行价为50的看涨期权–2.66到期期限为0.75，执行价为60的看涨期权+0.97到期期限为0.75，执行价为60的看涨期权+0.28到期期限为0.25，执行价为60的看涨期权28厦门大学郑振龙2013静态对冲：示例初始时刻，该对冲组合价值0.73，障碍期权为0.31。当我们使用越来越多的期权复制更多的边界点，初始价值会收敛于障碍期权的价值。如果复制18个边界点，对冲组合价值为0.38;复制100个边界点，对冲组合价值为0.32.卖空该复制组合，我们就可以对障碍期权进行对冲。29厦门大学郑振龙2013案例三许多投资者梦寐以求的事情就是可以在市场低谷买入，在市场高点卖出。30厦门大学郑振龙2013方案一：回溯期权方案二：呐喊期权31厦门大学郑振龙2013回溯期权回溯期权的回报取决于一段时间中资产价格的最高点或最低点。32回报优势浮动看涨Max(ST–Smin,0)最低价买入浮动看跌Max(Smax–ST,0)最高价卖出固定看涨Max(Smax−K,0)最高价卖出固定看跌Max(K−Smin,0)最低价买入厦门大学郑振龙2013呐喊期权呐喊期权允许投资者在期权价格处于有利位置时执行一次“呐喊”，最终的回报将等于以下两者中的较大值普通期权的回报,max(ST–K,0）呐喊时刻的内在价值,St–K与回溯期权相比，呐喊期权的期权费更低，而且带来的参与感能吸引对自己把握价格有自信的投资者。33厦门大学郑振龙2013回溯期权和呐喊期权的定价基础的回溯期权在BS框架下有闭式解呐喊期权类似于美式期权，没有精确的闭式解，需要通过数值方法求解。定价的关键在于对呐喊点的判断。34厦门大学郑振龙2013案例四假设某美国企业有第一列所示的外汇组合，并面临如下即期和三个月远期汇率。如何对冲？35厦门大学郑振龙2013对冲方案方案一：为每种货币的风险暴露分别购买期权，期权费总计557.4万美元。方案二：购买一份一篮子期权，期权费440.2万美元。两种方案的对冲结果可保证组合最低价值不小于初始价值减去相应期权费。36厦门大学郑振龙2013篮子期权(basketoption)的定义篮子期权的标的资产为几种资产构成的资产组合，构成资产组合的资产可以是个股、股票期权、外汇、期货等。假设资产i的权重为，则资产组合的价格为篮子期权的回报为371122...bnnSaSaSaS=+++ia厦门大学郑振龙2013篮子期权价格的决定因素篮子期权一个重要的特性就是其价值取决于资产组合中各资产的多元波动率结构，特别是取决于资产的相关系数。多元波动率和相关系数的建模较为复杂，目前仍然是学术界研究的前沿。在案例四中，篮子期权的期权费较低是由于各种汇率并不是完全相关的。对于单个汇率的期权，较大的波动可能会使期权卖方面临较大损失；而多种汇率的平均较大波动的概率较小。38厦门大学郑振龙2013篮子期权的定价与算术平均亚式期权类似，在BS框架下难以得到篮子期权的闭式解。所以解决方案也类似1.使用数值方法求解（蒙特卡洛模拟）2.使用前两阶矩相等的几何正态分布近似3.一种更精确的近似方法是Edgeworth序列展开39厦门大学郑振龙2013两值期权一种是或有现金看涨期权（Cash-or-nothingCall）。到期日时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额Q。其价值为另一种两值期权是或有资产看涨期权（Asset-or-nothingCall）。如果标的资产价格在到期日时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的款额。其价值为𝑆𝑆𝑑1402rTtXeNd厦门大学郑振龙2013两值期权常规期权往往可分解为两值期权的组合。比如一份常规欧式看涨期权就等于一份或有资产看涨期权多头和一份或有现金看涨期权空头之和。一份常规欧式看跌期权等于一份或有资产看跌期权多头和一份或有现金看跌期权空头之和，其中的现金支付金额等于执行价格。41厦门大学郑振龙2013本讲参考资料郑振龙和陈蓉，《金融工程》（第三版），高等教育出版社，2012：第11章JohnC.Hull,Options,Futuresandotherderivatives,8thed.,Pearson,2012:Ch13-14本科课程金融工程硕士生课程金融工程42厦门大学郑振龙2013请提问43AnyQuestions？厦门大学郑振龙2013TheEnd.44